北师版九年级数学上册期末复习考点 清单06 锐角三角函数（10个考点梳理 题型解读 提升训练）

清单06锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；【清单02】锐角三角函数的增减性（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大；（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小；（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大.51 【清单03】特殊角的三角函数值　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°【清单04】解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，51 斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，【清单05】解直角三角形的应用(1)坡度坡角　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角俯角问题　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.　　　　　　　　　　(3)方位角问题（1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.　　　　　　　　(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.注意：51 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【考点题型一】锐角三角函数的定义【典例1】如图，在△ABC中，若∠C=90°，则（    ）A．sinA=acB．sinA=bcC．cosB=bcD．cosB=ba【变式1-1】在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ）A．a=c⋅sinAB．b=c⋅cosBC．c=bsinAD．a=b⋅tanB【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　）A．sinC=CDACB．sinC=ADDCC．sinC=ABBCD．sinC=ADAB【变式1-3】在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（    ）A．sinB=acB．cosB=bcC．tanB=abD．tanB=ba【考点题型二】已知函数值求边长51 【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，sinA=35，则边AC的长为（    ）A．3B．4C．34D．41【变式2-1】在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，cosA=45，则BC的长为（   ）A．6B．8C．10D．12【变式2-2】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，AB=45，则AC等于（　　）A．6B．16C．12D．4【变式2-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，则sinA=(  )A．35B．45C．53D．54【变式2-4】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=34，BC=6，那么AB=．【考点题型三】求角的函数值【典例3】如图，A,B,C,D都在正方形网格的格点上，AC与BD交于点P，则tan∠APB=（    ）A．32B．52C．23D．25【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则tan∠DAC的值为（    ）A．23B．63C．62D．153【变式3-2】在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinA=13，则tanB的值是（    ）51 A．223B．22C．24D．13【变式3-3】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosA的值为．【变式3-4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上，则tan∠ACB的值是．【考点题型四】同角三角函数的关系【典例4】若∠A是锐角，且cosA＝35，则sinA＝．【变式4-1】若锐角A满足tana＝13，则sina的值是（　　）A．55B．1010C．31010D．355【变式4-2】如果α是锐角，且cosα＝45，那么sinα的值是（　　）A．925B．45C．35D．22【变式4-3】已知：sinα=13则cosα=（      ）A．13B．23C．89D．232【考点题型五】互余两角三角函数的关系【典例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB=12，则sinA的值为【变式5-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝512，则sinB的值为．【变式5-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67，则cosB=．51 【变式5-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanB的值为．【考点题型六】特殊角的三角函数值【典例6】cos45°的值是（    ）A．12B．32C．22D．1【变式6-1】2sin30°的值为（    ）A．12B．1C．3D．2【变式6-2】计算3cos30°的值是（    ）A．12B．1C．32D．3【变式6-3】计算：tan60°=（    ）A．32B．3C．33D．2【考点题型七】解直角三角形及应用【典例7】如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=45．(1)求BC的长；(2)求cosA的值．【变式7-1】已知：如图，BD是△ABC的高，AB=6，AC=53，∠A=30°．(1)求BD和AD的长；(2)求tanC的值．【变式7-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E．若BD=551 ，cosB=45，求AC的长．【变式7-3】2001年竣工通车的湘潭三大桥是湘江上已建大桥中规模最大的双塔垂直双索面三跨连续体系斜拉桥（如图1），图2是从图1抽象出来的平面图，已知：拉索AB、BD与桥面AC所成角度分别为37°、45°，若AD=210米，求立柱BC的高度．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，结果精确到1米）【考点题型八】解直角三角形的应用-坡度坡角【典例8】如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度i=0.75的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮AB的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）【变式8-1】让每一个孩子在家门口就能“上好学”，衡东某中学依山而建．校门A处，有一斜坡AB51 ，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点43−3米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=60°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．(1)求斜坡AB的坡度i．(2)求DC的长．【变式8-2】某通信公司欲在山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡比为1:2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米．(1)求点D到水平地面CQ的距离；(2)求通讯塔AB的高度、（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）【变式8-3】为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45°的BC改造为坡角为30°的AC，已知BC=102米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内．(1)求AB的距离；(结果保留根号)(2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高EF为3米，EF⊥AC，若CF=16米，求此时货车顶端E到水平线CD的距离DE．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【考点题型九】解直角三角形的应用-仰角俯角51 【典例9】如图，塔AB前有一座高为DE的山坡，已知CD=8m，∠DCE=30°，点A，C，E在同一条水平直线上．某学习小组在山坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在山坡D处测得塔顶部B的仰角为27°．(1)求DE的长．(2)求塔AB的高度．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，3≈1.7，结果取整数）【变式9-1】数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE=50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i=5:12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF=63.4°，则(1)点B到AG的距离为多少米？(2)塔顶到地面的高度EF约为多少米？（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）【变式9-2】如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B．无人机悬停在C51 处，此时在A处测得C的仰角为36°52′无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26′，AB=10m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．（参考数据：tan36°52′≈0.75,tan63°26′≈2.00）【变式9-3】如图，小明家所在居民楼高CD为30m，从楼顶C处测得另一座大厦顶部A的仰角α是26.6°，大厦底部B的俯角β是45°．(1)求两楼之间的距离BD；(2)求大厦的高度AB．(结果保留整数，参考数据：：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)【考点题型十】解直角三角形的应用-方向角51 【典例10】为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB=60(6+2)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120(6−2)海里．(1)求出A与C距离AC（结果保留根号）．(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：2=1.41，3=1.73，6=2.45)．【变式10-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．（结果保留根号）(1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行406海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？【变式10-2】小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点E51 位于景点A的东南方向4006米处，景点D位于景点A的北偏东60°方向1500米处，景点C位于景点B的北偏东30°方向，若景点A，B与景点C，D都位于东西方向，且景点C，B，E在同一直线上．(1)求景点A与景点B之间的距离．（结果保留根号）(2)小明从景点A出发，从A到D到C，小红从景点E出发，从E到B到C，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点C．（参考数据：3≈1.73）【变式10-3】如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，3≈1.73）51 清单06锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；【清单02】锐角三角函数的增减性（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大；（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小；51 （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大.【清单03】特殊角的三角函数值　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°【清单04】解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，51 斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，【清单05】解直角三角形的应用(1)坡度坡角　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角俯角问题　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.　　　　　　　　　　(3)方位角问题（1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.　　　　　　　　(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.注意：51 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【考点题型一】锐角三角函数的定义【典例1】如图，在△ABC中，若∠C=90°，则（    ）A．sinA=acB．sinA=bcC．cosB=bcD．cosB=ba【答案】A【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键．【详解】解：sinA=cosB=ac，sinB=cosA=bc，故选A．【变式1-1】在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（    ）A．a=c⋅sinAB．b=c⋅cosBC．c=bsinAD．a=b⋅tanB【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．【详解】解：由题意可得：sinA=ac，cosB=ac，tanB=ba，∴a=c⋅sinA，c=asinA，a=c⋅cosB，b=a⋅tanB，51 故A选项成立，B，C，D不成立，故选A．【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　）A．sinC=CDACB．sinC=ADDCC．sinC=ABBCD．sinC=ADAB【答案】C【分析】根据垂直定义可得∠ADB=∠ADC=90°，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得∠C=∠BAD，从而在Rt△BAD中，利用锐角三角函数的定义即可求出sin∠BAD=BDAB，即可判断D．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中sinC=ADAC，故A、B不符合题意；在Rt△ABC中，sinC=ABBC，故C符合题意；∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∴∠C=∠BAD，在Rt△BAD中，sin∠BAD=BDAB，∴sinC=sin∠BAD=BDAB，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式1-3】在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（    ）A．sinB=acB．cosB=bcC．tanB=abD．tanB=ba51 【答案】D【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断．【详解】解：如下图，A.sinB=bc，故该选项不成立，不符合题意；B.cosB=ac，故该选项不成立，不符合题意；C.tanB=ba，故该选项不成立，不符合题意；D.tanB=ba，故该选项成立，符合题意．故选：D．【考点题型二】已知函数值求边长【典例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，sinA=35，则边AC的长为（    ）A．3B．4C．34D．41【答案】B【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握正弦的概念是解题的关键．如图，由题意知，sinA=BCAB=35，可求BC=3，然后根据勾股定理求AC即可．【详解】解：如图，由题意知，sinA=BCAB=35，即BC5=35，解得，BC=3，由勾股定理得，AC=AB2−BC2=4，故选：B．51 【变式2-1】在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，cosA=45，则BC的长为（   ）A．6B．8C．10D．12【答案】A【分析】本题考查了三角函数的变形计算，根据cosA=ACAB=8AB=45，求得AB，再利用勾股定理计算BC即可．【详解】∵∠C=90∘，AC=8，cosA=45，∴cosA=ACAB=8AB=45，解得AB=10，∴BC=AB2−AC2=6，故选A．【变式2-2】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=2，AB=45，则AC等于（　　）A．6B．16C．12D．4【答案】D【分析】本题主要考查了正切值的定义．根据题意作图，由正切值的定义可得，tanA=BCAC，结合勾股定理，即可求得AC的值．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA=BCAC，∵tanA=2，∴BCAC=2，即BC=2AC，∵AB=45，∴AC2+BC2=AB2，即AC2+2AC2=452，∴AC=4，故选：D．51 【变式2-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，则sinA=(  )A．35B．45C．53D．54【答案】A【分析】本题考查求正弦值，根据正弦的概念，即可解答．【详解】由题意得：sinA=BCAB=610=35．故选：A．【变式2-4】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果sinA=34，BC=6，那么AB=．【答案】8【分析】本题考查了解直角三角形，利用直角三角形的边角间关系，可得结论．【详解】解：∵sinA=BCAB=34，BC=6，∴AB=8．故答案为：8．【考点题型三】求角的函数值【典例3】如图，A,B,C,D都在正方形网格的格点上，AC与BD交于点P，则tan∠APB=（    ）A．32B．52C．23D．25【答案】B【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，取格点E，连接BE，DE，由网格的特点可知BE∥AC，则∠APB=∠EBD，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BDE51 是直角三角形，且∠BED=90°，则tan∠EBD=DEBE=52，即tan∠APB=52．【详解】解：如图所示，取格点E，连接BE，DE，由网格的特点可知BE∥AC，∴∠APB=∠EBD，∵BE=22+22=22，DE=52+52=52，BD=32+72=58，∴BE2+DE2=BD2，∴△BDE是直角三角形，且∠BED=90°，∴tan∠EBD=DEBE=52，∴tan∠APB=52，故选：B．【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则tan∠DAC的值为（    ）A．23B．63C．62D．153【答案】B【分析】先根据题目已知条件推出△ABD∽△CAD，则可得∠DAC=∠B，然后根据BD:CD=3:2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，进而得出tan∠DAC的值，【详解】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°,51 ∵AD⊥BC于点D，∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°∴∠BAD=∠C，∠B=∠DAC，∴Rt△ABD∽△CAD，∴BDAD=ADCD，即，AD2=BD⋅CD，∵BD:CD=3:2，∴设BD=3x，CD=2x，∴AD=3x⋅2x=6x，∴tan∠B=tan∠DAC=ADBD=6x3x=63，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长．【变式3-2】在Rt△ABC中，已知∠C=90°，sinA=13，则tanB的值是（    ）A．223B．22C．24D．13【答案】B【分析】本题考查了一个锐角的正弦与正切值．根据题意设BC=x，则AB=3x，得出AC=22x，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=BCAB=13，设BC=x，则AB=3x，∴AC=AB2−BC2=22x，∴tanB=ACBC=22xx=22  故选：B．【变式3-3】在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosA的值为．51 【答案】45/0.8【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，过C作CD⊥AB于D，利用勾股定理可以求出AC的长，再根据余弦的定义即可求出cosA的值，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】如图，过C作CD⊥AB于D，∴∠D=90°，由网格可知：AD=4，AC=32+42=5，∴cosA=ADAC=45，故答案为：45．【变式3-4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上，则tan∠ACB的值是．【答案】13【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出∠ADB=90°是解此题的关键.根据已知图形得出∠ADC=90°，再求解即可.【详解】解：如图，连接AD，51 由勾股定理得：AD=BD=12+12=2，CD=32+32=32，∴AD2+BD2=4=AB2,∠BAD=∠B，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴∠ADC=180°−90°=90°,∴tan∠ACB=232=13.故答案为：13.【考点题型四】同角三角函数的关系【典例4】若∠A是锐角，且cosA＝35，则sinA＝．【答案】45/0.8【分析】根据cosA=35，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，cosA＝ACAB=35，设AC=3a，则AB=5a∴BC=AB2−AC2=4a∴sinA=BCAB=4a5a=45故答案为：45．51 【点睛】此题考查了同角三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．【变式4-1】若锐角A满足tana＝13，则sina的值是（　　）A．55B．1010C．31010D．355【答案】B【分析】根据题意，由tana＝13，可得sina=1010．【详解】解：∵tana＝13，∴sina＝112+32＝1010，故选：B．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，解题的关键是结合三角函数的定义．【变式4-2】如果α是锐角，且cosα＝45，那么sinα的值是（　　）A．925B．45C．35D．22【答案】C【分析】根据锐角三角函数正、余弦的关系sin2α十cos2α=1即可解得．【详解】根据sin2α十cos2α=1，所以sinα=1-1625=35，选择答案C．【点睛】本题考查锐角三角函数正、余弦的关系．【变式4-3】已知：sinα=13则cosα=（      ）A．13B．23C．89D．232【答案】D【分析】把sinα=13代入sin2α+cos2α=1求出即可．【详解】解：∵sin2α+cos2α=1，sinα=13，∴19+cos2α=1，∴cos2α=89，∵α是锐角，∴cosα=223，51 故选D．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，能熟记sin2α+cos2α=1是解此题的关键．【考点题型五】互余两角三角函数的关系【典例5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosB=12，则sinA的值为【答案】12【分析】根据特殊的三角函数值计算出∠B，然后计算出∠A，在计算sinA的值即可．【详解】解：∵cosB=12，，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴sinA＝12．故答案为：12【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【变式5-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝512，则sinB的值为．【答案】1213【分析】根据∠A的正切值，设两直角边分别为5k，12k，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B的正弦值即可求出．【详解】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝512，∴设AC＝12k，BC＝5k，则AB＝(12k)2+(5k)2＝13k，∴sinB＝ACAB＝12k13k＝1213．故答案为：1213．51 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，作出草图，利用数形结合思想更形象直观，此类题目通常都用到勾股定理．【变式5-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=67，则cosB=．【答案】67【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【详解】解：∵∠C=90°，sinA=67，∴sinA=BCAB=67，∴cosB=BCAB=67．故答案为：67．  【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB是解题关键．【变式5-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanB的值为．【答案】125【详解】试题分析：根据题意作出Rt△ABC，然后根据sinA=513，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC=12x，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B=ACBC=125．故答案为125.考点：互余两角三角函数的关系．【考点题型六】特殊角的三角函数值51 【典例6】cos45°的值是（    ）A．12B．32C．22D．1【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数值问题，根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【详解】解：cos45°=22．故选：C．【变式6-1】2sin30°的值为（    ）A．12B．1C．3D．2【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．代入特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：2sin30°=2×12=1．故选B．【变式6-2】计算3cos30°的值是（    ）A．12B．1C．32D．3【答案】C【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的乘法计算，先计算cos30°=32，再计算二次根式乘法即可．【详解】解；3cos30°=3×32=32，故选：C．【变式6-3】计算：tan60°=（    ）A．32B．3C．33D．2【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】tan60°=3．故选：B．51 【考点题型七】解直角三角形及应用【典例7】如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=45．(1)求BC的长；(2)求cosA的值．【答案】(1)12(2)725【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，三角函数值相等，引出辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）作AD⊥BC，根据sin∠ABD=ADAB求出AD，再根据勾股定理求出BD，利用等腰三角形的三线合一的性质得到BC；（2）作BH⊥AC，根据S△ABC=12AC⋅BH=12CB⋅AD，得出BH，根据勾股定理得AH，即可得出cos∠BAC；【详解】（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC=10，∴BC=2BD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=ADAB，∴AD=AB×sin∠ABD=10×45=8，∴BD=AB2−AD2=102−82=6，则BC=2BD=12．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H，51 ∵S△ABC=12AC⋅BH=12CB⋅AD，∴BH=CB⋅ADAC=12×810=485，∴AH=AB2−BH2=102−(485)2=145，∴cos∠BAC=AHAB=14510=725【变式7-1】已知：如图，BD是△ABC的高，AB=6，AC=53，∠A=30°．(1)求BD和AD的长；(2)求tanC的值．【答案】(1)BD=3，AD=33；(2)tanC=32．【分析】（1）本题考查解直角三角形，根据BD=AB⋅sin∠A，AD=AB⋅cos∠A进行计算，即可解题．（2）本题考查求角的正切值，掌握正切的定义，并根据tanC=BDDC进行计算，即可解题．【详解】（1）解：∵BD是△ABC的高，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB⋅sin∠A=6×12=3，AD=AB⋅cos∠A=6×32=33；（2）解：∵AC=53，∴DC=AC−AD=53−33=23，∴tanC=BDDC=323=32．【变式7-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E．若BD=5，cosB=45，求AC的长．51 【答案】AC=6【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质；先根据BD=5，cosB=45求出BE的长度，即可根据勾股定理求出DE，再根据角平分线的性质可得CD=DE，即可求出BC的长度，再根据cosB=45，求出AB的长度，即可根据勾股定理求出AC．【详解】解：∵DE⊥AB，BD=5，cosB=45，∴在Rt△BDE中，BE=BD⋅cosB=5×45=4，在Rt△BDE中，根据勾股定理可得：DE=BD2−BE2=52−42=3，∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=3，∴BC=BD+CD=5+3=8，∴在Rt△ABC中，AB=BCcosB=10，∴AC=AB2−BC2=102−82=6．【变式7-3】2001年竣工通车的湘潭三大桥是湘江上已建大桥中规模最大的双塔垂直双索面三跨连续体系斜拉桥（如图1），图2是从图1抽象出来的平面图，已知：拉索AB、BD与桥面AC所成角度分别为37°、45°，若AD=210米，求立柱BC的高度．（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，结果精确到1米）【答案】立柱BC的高度约为90米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．51 在Rt△BDC中，利用∠A的正切值表示出AC，然后表示出DC，BC，列出方程即可解答．【详解】解：∵BC⊥AD，垂足为点C，在RtΔABC中，∠A=37°，设立柱BC=x米，∴tanA=BCAC，即AC=BCtan37°=x0.75=43x米，又∵在Rt△BDC中，∠BDC=45°，∴DC=BC=x米，∵AD=210米，∴x+43x=210，解得：x≈90．答：立柱BC的高度约为90米．【考点题型八】解直角三角形的应用-坡度坡角【典例8】如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度i=0.75的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮AB的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin24°≈0.4，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）【答案】68m【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．延长AB交ED的延长线于M，CN⊥DM于N，先在Rt△CDN中，解直角三角形求出CN，DN，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长AB交ED的延长线于点M，CN⊥DM于N，51 由题意得：AM⊥DE，则MN=BC=40cm，BM=CN，在Rt△CDN中，i=CNDN=0.75=34，∴设CN=3xx>0，DN=4x，∴CD=CN2+DN2=5x=20，解得x=4,∴CN=12m，DN=16m，∴BM=CN=12m，EM=MN+DN+DE=40+16+122=178m,在Rt△AEM中，tan24°=AMEM≈0.45,∴12+AB178≈0.45,∴AB=178×0.45−12≈68m∴摩天轮AB的高度约为68m．【变式8-1】让每一个孩子在家门口就能“上好学”，衡东某中学依山而建．校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点43−3米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=60°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．(1)求斜坡AB的坡度i．(2)求DC的长．【答案】(1)1:2.451 (2)17米【分析】（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=FD=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．（2）解Rt△BCF得出BF=CF，解Rt△CEF得出EF=33CF，根据BE=43−3列出方程BE=BF−EF=43−3，解方程求出BF=CF=12，进而得到DC的长．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡比的概念，特殊角的函数值，锐角三角函数的定义是解题的关键.【详解】（1）如图，过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，∴BG=FD=5米，∵AB=13米，∴AG=AB2−BG2=12米，∴AB的坡度i=BGAG=512=1:2.4．答：斜坡AB的坡度i为1:2.4．（2）∵在Rt△BCF中，∠CBF=45°，∴BF=CF，∵在Rt△CEF中，∠CEF=60°，∴EF=33CF，∵BE=43−3米，∴BE=BF−EF=CF−33CF=43−3，解得：BF=CF=12．∴DC=CF+DF=12+5=17米．答：DC的长为17米．【变式8-2】某通信公司欲在山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡比为1:2.4，通讯塔AB51 垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米．(1)求点D到水平地面CQ的距离；(2)求通讯塔AB的高度、（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）【答案】(1)10米(2)38.5米【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意添加辅助线是解题的关键．（1）过点D作DF⊥CQ，垂足为F，根据已知得到DFCF=512，从而设DF=5x，则CF=12x，利用勾股定理即可得到答案．（2）延长AB交CQ于点E交CQ于点E，过点D作DH⊥AE，根据题意得到DF=HE=10米，设DH=FE=y，则CE=(24+y)米，根据锐角三角函数得到AE=(43y+10)米，列出关于y的方程即可得到答案．【详解】（1）解：过点D作DF⊥CQ，垂足为F，∵斜坡CB的坡比为1:2.4，∴DFCF=12.4=512，∴而设DF=5x，则CF=12x，在Rt△CDF中，CD=26，∴CD2=CF2+DF2，∴262=(5x)2+(12x)2，解得x=2或x=−2（舍去），∴CF=12x=24米，DF=5x=10米．51 求点D到水平地面CQ的距离为10米．（2）解：延长AB交CQ于点E交CQ于点E，过点D作DH⊥AE，根据题意得到DF=HE=10米，DH=FE，∴CE=CF+EF=(24+y)米，在Rt△ADH中，∠ADH=53°，∴AH=DH⋅tan53°=43y，∴AE=AH+HE=(43y+10)米，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴tan45°=AECE=1，∴AE=CE，∴43y+10=24+y，∴y=42，∴DH=FE=42米，AH=43y=56米，∵斜坡CB的坡比为1:2.4，∴BHDH=12.4=512，∴BH=17.5米，∴AB=AH−BH=56−17.5=38.5米．  故通讯塔AB的高度为38.5米．51 【变式8-3】为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45°的BC改造为坡角为30°的AC，已知BC=102米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内．(1)求AB的距离；(结果保留根号)(2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高EF为3米，EF⊥AC，若CF=16米，求此时货车顶端E到水平线CD的距离DE．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案】(1)103−10(2)5.4米【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题；（1）过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG和BG的长，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）延长DE交AC于点H，根据题意可得：DC∥AG，DE⊥CD，从而可得∠CDH=90°，∠A=∠DCA=30°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DHC=60°，再根据垂直定义可得∠EFA=90°，从而在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH和EH的长，进而求出CH的长，最后在Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，在Rt△BCG中，BC=102米，∠CBG=45°，∴CG=BC⋅sin45°=102×22=10(米)，BG=BC⋅cos45°=102×22=10(米)，51 在Rt△ACG中，∠CAG=30°，∴AG=3CG=103(米)，∴AB=AG−BG=(103−10)米，∴AB的距离为(103−10)米；（2）延长DE交AC于点H，由题意得：DC∥AG，DE⊥CD，∴∠CDH=90°，∵DC∥AG，∴∠A=∠DCA=30°，∴∠DHC=90°−∠DCA=60°，∵EF⊥AC，∴∠EFA=90°，在Rt△EFH中，EF=3米，∴FH=EFtan60°=33=3(米)，EH=EFsin60°=332=23(米)，∵CF=16米，∴CH=CF+FH=(16+3)米，在Rt△CDH中，∠DCA=30°，∴DH=12CH=8+32米，∴DE=DH−EH=8+32−23=8−332≈5.4(米)，∴此时货车顶端E到水平线CD的距离DE约为5.4米．【考点题型九】解直角三角形的应用-仰角俯角【典例9】如图，塔AB前有一座高为DE的山坡，已知CD=8m，∠DCE=30°，点A，C，E51 在同一条水平直线上．某学习小组在山坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在山坡D处测得塔顶部B的仰角为27°．(1)求DE的长．(2)求塔AB的高度．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，3≈1.7，结果取整数）【答案】(1)DE的长为4m(2)塔AB的高度约为15m【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可求解；（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得CE=3DE=43m，设AB=ℎm，根据等腰直角三角形的性质可得AC=ℎm，AE=43+ℎm，如图，过点D作DF⊥AB．垂足为F，在Rt△BDF中，∠BDF=27°，根据角的正切值可得ℎ≈15，由此即可求解．【详解】（1）解：由题意得DE⊥EC，在Rt△CDE中，CD=8m，∠DCE=30°，∴DE=12CD=4m,∴DE的长为4m．（2）解：由题意得AB⊥AE，在Rt△DEC中，DE=4m，∠DCE=30°，∴CE=3DE=43m，在Rt△ABC中，设AB=ℎm，∵∠BCA=45°，∴AC=ABtan45°=ℎm，∴AE=EC+AC=43+ℎm，如图，过点D作DF⊥AB．垂足为F，51 由题意得DF=AE=43+ℎm，AF=DE=4m，∵AB=ℎm，∴BF=AB−AF=ℎ−4m，在Rt△BDF中，∠BDF=27°，∴BF=DF⋅tan27°≈0.543+ℎm，∴ℎ−4=0.543+ℎ，解得ℎ=43+8≈15，∴AB=15m，答：塔AB的高度约为15m．【变式9-1】数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE=50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i=5:12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF=63.4°，则(1)点B到AG的距离为多少米？(2)塔顶到地面的高度EF约为多少米？（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）【答案】(1)10米(2)47米【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）过点B作BP⊥AG于点P，依据坡度的定义并结合勾股定理解直角三角形ABP即可．51 （2）延长EF交AG于点H，可证四边形BFHP为矩形，设EF=x米，在直角三角形BEF中可表示BF≈x2米，即PH≈x2，于是可得AH≈24+x2，EH=x+10，再在RtΔEAH中得到tan50.2°=x+10x2+24≈1.20，可解得x≈47米，从而得解．【详解】（1）解如图，过点B作BP⊥AG于点P，∴△ABP为直角三角形．由i=5:12，可设BP=5x，则AP=12x，由BP2+AP2=AB2可得5x2+12x2=262，解得x=2或x=−2（舍去），∴BP=10米∴点B到AG的距离为10米．（2）延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，则四边形BFHP为矩形，∴FH=BP=10，BF=HP由（1）可知AP=24，设EF=x米，在Rt△BEF中，tan∠EBF=EFBF，即tan63.4°=xBF≈2∴BF≈x2米，在Rt△EAH中，tan∠EAH=EHAH，即：tan50.2°=x+10x2+24≈1.20解得x≈47（米）．答：塔顶到地面的高度EF约为47米．【变式9-2】如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B．无人机悬停在C51 处，此时在A处测得C的仰角为36°52′无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为63°26′，AB=10m，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．（参考数据：tan36°52′≈0.75,tan63°26′≈2.00）【答案】15m【分析】过点C作CM⊥AB于点M，设BM=xm，则AM=10+xm，根据仰角，解直角三角形计算即可．本题考查了仰角解直角三角形，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．【详解】解：过点C作CM⊥AB于点M，设BM=xm，则AM=10+xm，在Rt△BDM中，∠DBM=63°26′，则tan∠DBM=tan63°26′=DMBM=DMx=2，则DM=2x，CM=2x−5；在Rt△ACM中，∠ACM=36°52′，则tan∠ACM=tan36°52′=CMAM=2x−510+x=34，解得：x=10，经检验，x=10是该分式方程的解．∴CM=2x−5=15m．答：无人机在C处时离地面15m．【变式9-3】如图，小明家所在居民楼高CD为30m，从楼顶C处测得另一座大厦顶部A的仰角α是26.6°51 ，大厦底部B的俯角β是45°．(1)求两楼之间的距离BD；(2)求大厦的高度AB．(结果保留整数，参考数据：：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)【答案】(1)30m(2)45m【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CE=BD，CD=BE=30m，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，即可解答；（2）在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意得：CE=BD，CD=BE=30m，在Rt△BCE中，∠BCE=45°，∴CE=BEtan45°=30(m)，51 ∴CE=BD=30m，∴两楼之间的距离BD为30m；（2）解：在Rt△ACE中，∠ACE=26.6°，CE=30m，∴AE=CE⋅tan26.6°≈30×0.5=15(m)，∴AB=AE+BE=15+30=45(m)，∴大厦的高度AB约为45m．【考点题型十】解直角三角形的应用-方向角【典例10】为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB=60(6+2)海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120(6−2)海里．(1)求出A与C距离AC（结果保留根号）．(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：2=1.41，3=1.73，6=2.45)．【答案】(1)A与C的距离为1202海里(2)海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中．（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60(6+2)海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC的长度；（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．【详解】（1）解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，51 可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE中，BE=CE=x，在Rt△CAE中，AE=33x，∵AB=60(6+2)海里，∴x+33x=60(6+2)，解得：x=606，则AC=233x=1202，答：A与C的距离为1202海里；（2）解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，∵AD=120(6−2)，∠CAD=60°，∴DF=ADsin60°=1802−606≈106.8>100，故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．【变式10-1】如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛80海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°方向航行．（结果保留根号）51 (1)渔船航行多远与小岛B的距离最近？(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行406海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问：救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？【答案】(1)渔船航行402海里与小岛B的距离最近．(2)救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是802海里【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题：（1）过点B作BM⊥AC于点M，根据题意可得∠BAM=45°，解直角三角形求出AM的长即可；（2）解直角三角形得到∠CBM的度数，进而求出∠CBG的度数和BC的长，据此可得答案．【详解】（1）解：过点B作BM⊥AC于点M，如图所示．由题意，知∠BAM=45°．在Rt△ABM中，∠BAM=45°，AB=80海里，∴AM=AB⋅cos∠BAM=402海里．答：渔船航行402海里与小岛B的距离最近．51 （2）解：由（1）得BM=AB⋅sin∠BAM=402海里，∵MC=406海里，∴tan∠MBC=MCBM=406402=3．∴∠MBC=60°．∵∠ABM=90°−45°=45°，∴∠CBG=180°−60°−45°−30°=45°．在Rt△BCM中，∠MBC=60°，BM=402海里，∴BC=BMcos60°=2BM=802海里．答：救援队从B处出发沿着点B的南偏东45°方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是802海里．【变式10-2】小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点E位于景点A的东南方向4006米处，景点D位于景点A的北偏东60°方向1500米处，景点C位于景点B的北偏东30°方向，若景点A，B与景点C，D都位于东西方向，且景点C，B，E在同一直线上．(1)求景点A与景点B之间的距离．（结果保留根号）(2)小明从景点A出发，从A到D到C，小红从景点E出发，从E到B到C，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点C．（参考数据：3≈1.73）【答案】(1)景点A与景点B之间的距离为4003+400米(2)小红先到达景点C，理由见解析【分析】（1）过点E作EH⊥AB于点H，解直角三角形求出AH、EH、BH、BE，即可求出点A与景点B之间的距离；（2）过点A作AM⊥CD于点M，过点C作CN⊥AB于点N，解直角三角形求出CD、BC，分别计算出两人所走的路程，即可判断求解；本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，矩形的性质，根据题意，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．51 【详解】（1）解：过点E作EH⊥AB于点H，在Rt△AHE中，∠EAH=45°，∴AH=EH=22AE=22×4006=4003，在Rt△BHE中，∠HBE=60°，∴BH=33HE=400，BE=233HE=800，∴AB=4003+400，答：景点A到景点B的距离为4003+400米；（2）解：过点A作AM⊥CD于点M，过点C作CN⊥AB于点N，则∠M=∠N=∠MAN=90°，∴四边形AMCN为矩形，在Rt△AMD中，∠MAD=60°，∴∠ADM=90°−60°=30°，∴AM=12AD=750，DM=32AD=7503，又∵四边形AMCN为矩形，∴CN=AM=750，在Rt△CBN中，∠CBN=60°，∴BN=33CN=2503，CB=233CN=5003，∴CD=AB+BN−DM=400−1003，∴小明所走的路程为400−1003+1500=1900−1003≈1727米，小红所走的路程为800+5003≈1665米，∵1727>1665且两人速度相同，∴小红先到达景点C．51 【变式10-3】如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西53°方向前往小区居民活动中心C处；小强自南门B处出发，沿正西方向行走300m到达D处，再沿北偏西30°方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，3≈1.73）【答案】481m【分析】本题考查了解直角三角形：方位角的应用；过点C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥CM于N，则可得四边形DBMN是矩形；设CN=xm，则可表示出CM，CD，DN，AC，利用两人所走的路程相同建立方程，求得x，即可求出小区北门A与南门B之间的距离．【详解】解：过点C作CM⊥AB于M，过D作DN⊥CM于N，∵AB⊥BD，∴四边形DBMN是矩形，∴MN=BD=300m，DN=MB；设CN=xm，则CM=CN+MN=(x+300)m；∵DN⊥CM，∠CDN=30°，∴CD=2xm，DN=CD⋅cos30°=3xm，∴MB=DN=3xm；∵CM⊥AB，∠MAC=53°，∴AC=CMsin53°≈5(x+300)4m，AM=CMtan53°≈x+3001.3m，∵两人所走的路程相同，∴5(x+300）4=300+2x，解得：x=100；∵AM=x+3001.3=400013m，MB=3x=1003m51 ∴AB=AM+BM=400013+1003≈481(m)即小区北门A与南门B之间的距离为481m．51