初中数学新沪科版七年级上册3.1方程教案2025秋

3.1方程第1课时方程及方程的解【教学目标】1.通过对多种实际问题中数量关系的分析，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，增强模型观念。2.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，提高应用意识。3.知道一元一次方程的概念，理解方程解的意义，初步经历解一元一次方程的过程。【教学重点】能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。【教学难点】能针对具体问题列出方程。【教学过程】一、创设情境，导入新课我国古代数学著作《九章算术》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？解法一：鸡：（35×4-94）÷2=23（只），兔：35-23=12（只）。解法二：兔：（94-35×2）÷2=12（只），鸡：35-12=23（只）。本章我们将学习一种新的方法，通过列方程来解决这个问题。今天我们一起来认识方程。二、合作交流，探究新知探究点1根据问题列方程问题1在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少?（1）这个问题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？涉及的量：学生人数、老师人数、学生票款、成人票款。它们之间的等量关系结构图如下所示：（2）如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示为10x+15（45-x）。（3）你能得到怎样的表示量相等的式子？10x+15（45-x）=475。教学步骤师生活动问题2某长方形操场的面积是5850m2，长比宽多25m。（1）这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？涉及的量有长方形操场的长、宽、面积。它们之间的等量关系结构图如下所示：（2）如果设这个操场的宽为xm，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为x（x+25)。（3)你能得到怎样的表示量相等的式子？x（x+25)=5850。问题3甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前12min到达乙地。（1）这个情境涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？涉及的量有张叔叔原计划每小时走的路程、实际每小时走的路程、原计划所用时间、实际所用时间。它们之间的等量关系结构图如下所示：（2)如果设张叔叔原计划每小时走xkm，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为。（3)你能得到怎样的表示量相等的式子？【对应训练】1.下列式子不是方程的是（C）A.3x=4B.5x+4y=0C.2x+5D.2（x-4）=32.根据题意列出方程：（1）（2）教材P137随堂练习第1题（1）（2）。4 （3）活动一中的“鸡兔同笼”题。提醒学生：（1）方程中包含两个要求：①必须是等式；②必须含有未知数。两者缺一不可。（2）方程一定是等式，但等式不一定是方程。（3）方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示。（4）方程中可含多个未知数。探究点2一元一次方程的概念与方程的解Ⅰ.一元一次方程的概念问题1观察方程10x+15（45-x）=475，2x+3=7x+4，它们有什么共同特点？未知数的个数1未知数的次数1等式左、右两边的式子整式概念引入：Ⅱ.方程的解与解方程问题2你能求出满足方程10x+15（45-x)=475的未知数x的值吗？我们一起来看看：（1）将左边的式子化简，你能得到什么？10x+15（45-x)=675-5x。（2）回顾前面代数式求值的有关知识，当x为下面何值时，675-5x与475相等？x20304050…675-5x575525475425…当x=40时，675-5x=475。（3）你还有无其他方法？根据有理数的运算，x=（675-475）÷5=40。概念引入：【对应训练】1.下列式子中是一元一次方程的有②③⑥⑧。（填序号）①2x2-5=4；②-m+8=1；③x=1；④x+y=1；⑤x+3＞0；⑥2x2-2（x2-x）=1；⑦-7=4；⑧πx=12。2.教材的练习。三、知识升华，巩固提升（1）若xk-1+21=0是关于x的一元一次方程，则k=2。（2）若x|k|+21=0是关于x的一元一次方程，则k=1或-1。（3）若关于x的方程（k-1）x|k|+21=0是一元一次方程，则k=-1。【解析】（1）因为原方程是一元一次方程，所以k-1=1，所以k=2。（2）因为原方程是一元一次方程，所以|k|=1，所以k=1或-1。（3）因为原方程是一元一次方程，所以|k|=1，且k-1≠0，所以k=-1。【对应训练】（1）若3xn+4=5是关于x的一元一次方程，则n=1。（2）若关于x的方程（a-2）x2+ax+1=0是一元一次方程，则a=2。（3）若（m-3）x|m|-2=-5是关于x的一元一次方程，则m=-3。四、随堂训练，课堂总结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是方程？什么样的方程叫一元一次方程？如何判断一个数是不是方程的解？你会根据问题列方程吗？【作业布置】教材的习题3.1中选取。板书设计1方程及方程的解4 第2课时等式的基本性质【教学目标】1.通过观察、归纳，理解等式的基本性质，感受数学逻辑的条理，提高推理能力。2.通过观察，体会解方程的过程就是将方程用等式的基本性质变形为x=a的形式。3.掌握等式的基本性质，能利用等式的基本性质解简单的一元一次方程，提高运算能力。【教学重点】理解等式的基本性质，掌握利用等式的基本性质解方程。【教学难点】理解等式的基本性质，掌握利用等式的基本性质解方程。【教学过程】一、设置疑问，导入新课方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性质。等式有哪些基本性质呢？我们不难理解下面两个基本事实：（1）如果a=b，那么b=a；（2）如果a=b，b=c，那么a=c。除此之外，等式还有哪些基本性质呢？带着这个问题，我们一起走进本节课的学习。一、问题引入，探究新知探究点1等式的基本性质问题1等式的两边都加（减）、乘（除以）同一个数，等式还成立吗？成立。问题2（1）如图①，天平要保持平衡，其两边的质量应相等。如图②③，如果天平两边同时加入或拿去相同质量的砝码，那么天平还保持平衡吗？（2）如图，把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等式成立就可看作是天平两边保持平衡。通过下面的天平图示，你可以得到什么等式？a=b。（3）如图，类比（1）中的做法，我们在天平上加上或拿去一个质量为c的砝码，你可以得到什么等式？a+c=b+c，a-c=b-c。（4）如图，类比（3）中的做法，我们使天平两边砝码的质量变成之前的2倍，你可以得到什么等式？变成之前的呢？变成之前的c倍呢？变成之前的（c≠0）呢？归纳总结：探究点2利用等式的基本性质解一元一次方程问题结合天平的操作图解释方程5x=3x+2的变形过程。例1解方程：（1）x+2=5；（2）3=x-5。解：（1）方程的两边都减2，得x+2-2=5-2。于是x=3。（2）方程的两边都加5，得3+5=x-5+5。于是8=x。习惯上，我们写成x=8。追问1怎么确定x=3是否是方程x+2=5的解？把求出的解代入原方程，可以检验解方程是否正确。例如，把x=3代入方程x+2=5，左边=3+2=5，右边=5，左边=右边，所以x=3是方程x+2=5的解。追问2观察上述解方程的过程，你认为解方程最终是要转化为什么形式？解方程是逐步把方程转化为x=a（a是常数）的形式。例2解方程：（1）-3x=15；（2）-n3-2=10。追问你是怎样解方程的？每一步的依据是什么？还有其他解法吗？（学生自行回答）【对应训练】教材的练习题三、知识升华，巩固提升【对应训练】教材的练习题。4 四、随堂训练，课堂总结师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.等式的基本性质有哪些？2.你会用等式的基本性质解简单的一元一次方程吗？【作业布置】教材习题3.1中选取。4