北师版九年级数学上册期末复习考点 清单07 二次函数（13个考点梳理 题型解读 提升训练）

清单07二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数【清单02】二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．【清单03】二次函数的图象及性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点84 增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小【清单04】抛物线的平移二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【清单05】二次函数与一元二次方程的关系1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．【清单06】用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值【清单07】用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的84 【考点题型一】二次函数的概念【典例1-1】下列函数中属于二次函数的是（      ）A．y=3x−1B．y=ax2+bx+cC．y=2x2−1D．y=x2+1x【典例1-2】关于x的函数y=(m−1)xm2+1+5是二次函数，则m的值是．【变式1-1】下列属于二次函数的是（   ）A．y=−2x2+3B．y=2xC．y=1xD．y=−x+1【变式1-2】若y=(m−4)x2−5x+3表示y是x的二次函数，则m的取值范围为．【变式1-3】若y=m−2xm2−2+3x是关于x的二次函数，则m的值为．【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质【典例2】对于抛物线y=−2x−12+3，下列判断正确的是（    ）A．函数最小值是3B．当x>1时，y随x的增大而增大C．抛物线的顶点坐标是−1,3D．对称轴为直线x=1【变式2-1】若二次函数y=x2+3的图象经过点−1,y1，3,y2，则y1与y2的大小关系为（   ）A．y1=y2B．y1>y2C．y1<y2D．无法确定【变式2-2】抛物线y=x−12−2的顶点坐标是（     ）A．−1,−2B．1,−2C．−1,2D．1,2【变式2-3】设A(−5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−x+12+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（    ）A．y2>y3>y1B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1D．y3>y1>y2【变式2-4】已知关于x的二次函数y=−x−52+1，当2<x<6时，y的取值范围为【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识【典例3】如图，抛物线C1:y=x2−4x的对称轴为直线x=a，将抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2，则图中的两条抛物线、直线x=a与y轴所围成的图形（阴影部分）的面积为．84 【变式3-1】如图，已知抛物线y1=−12x2+4，−2≤x≤2，将y1向下平移2个单位长度后得抛物线y2，则图中阴影部分的面积S=．【变式3-2】如图，抛物线y=13x2−3与x轴交于A，B两点，F是以点C0,4为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段AF的中点，连接OD，BF则线段OD的最大值是．【变式3-3】将抛物线y=−x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接OA、AB如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是．84 【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为1,1、1,4、4,4．若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是．  【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质【典例4】已知二次函数y=2x2−x+1，则下列关于该函数的结论正确的是（    ）A．顶点坐标为12,78B．函数的最大值为78C．当x≤1时，y随x的增大而减小D．若1<x1<x2，则y1<y2【变式4-1】下列关于二次函数y=−3x+1x−2的图象和性质的叙述中，正确的是（    ）A．点0,2在函数图象上B．开口方向向上C．对称轴是直线x=1D．与直线y=3x有两个交点【变式4-2】已知二次函数y=−mx2+2mx+4m>0经过点A−2,y1，点B1,y2，点C3,y3，那么y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y2<y3<y1D．y3<y1<y2【变式4-3】二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0、B两点，下列说法正确的是（    ）A．它的对称轴为直线x=1B．顶点坐标为−12,−6C．点B的坐标为2,0D．当x<−1时，y随x的增大而增大【变式4-4】抛物线y=ax2+bx+ca≠0，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（    ）x−2012my−5343−5A．开口向下B．顶点坐标为1,4C．当x<0时，y随x的增大而减小D．m=484 【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题【典例5】已知二次函数y=x2−2ax+a2−1，当−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（    ）A．1或0B．1或2−3C．2−3或3−1D．0或3−1【变式5-1】已知二次函数y=x2−bx+1，当−32≤x≤12时，函数y有最小值12，则b的值为（    ）A．−2或32B．−116或32C．±2D．−2或−116【变式5-1】已知二次函数y=mx2−4mx+1，其中m>0．若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（    ）A．12<m<34B．1<m≤54C．54<m≤32D．54≤m<32【变式5-2】已知抛物线y=x²+2a−1x−3，若当−1≤x≤3时，函数的最大值为1，则a的值为．【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息【典例6】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b≤m(am+b)；④a−b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．其中正确的个数是（    ）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，现给以下结论：①abc<0；②c+2a<0；③9a−3b+c=0；④4ac−b2>0；⑤a−b≥mam+b（m为任意实数）．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个84 【变式6-2】如图，已知顶点为−3,−6的抛物线y=ax2+bx+c过−1,−4，则下列结论：①abc<0；②对于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③−5a+c=−4；④若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1；⑤a<45；其中正确的个数为（    ）A．2B．3C．4D．5【变式6-3】如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A−1,0，与y轴的交点在0,−2和0,−1之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac−b2<8a；③13<a<23；④b>c；其中正确结论的个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-4】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为12,1，下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③a+b+c<0；④a+b=0；⑤4ac−b2=4a．其中正确的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4【考点题型七】二次函数的平移变换【典例7】将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ）84 A．y=x+52+2B．y=x−52+2C．y=x+52−2D．y=x−52−2【变式7-1】将抛物线y=3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　）A．y=3(x+1)2+2B．y=3(x−1)2+2C．y=3(x−2)2+1D．y=3(x−2)2−1【变式7-2】要得到二次函数y=−x−22+1的图象，需将y=−x2的图象（　　）A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【变式7-3】在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为（    ）A．y=x−32−1B．y=x+32+3C．y=x+32−1D．y=x−32+3【考点题型八】二次函数的交点问题【典例8】抛物线y1=−x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式y1>y2的解集是（   ）A．x<0B．0<x<4C．0<x<2D．2<x<4【变式8-1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，当函数值y<0时，自变量x的取值范围是．84 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxa>0和直线y=kxk>0交于点O和点A，则关于x的不等式ax2+bx>kx的解集为．【变式8-3】如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(−5,−3)，B(3,4)，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解是．【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题【典例9】【综合与实践】为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，MN=28dm，EF=1.5dm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球．以MN所在直线为x轴，M为原点作平面直角坐标系，xdm表示球与M的水平距离，ydm表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的表达式为y1=−120x−tx−t−12，设CP段抛物线的表达式为y2=−120x−ℎ2+k．84 (1)①点F的坐标为______；②用含t的式子表示：点B的坐标为______；点C的坐标为______；(2)当球在球网EF正上方时到达最高点，求此时球与F的距离；(3)若球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，乙的球拍在N处正上方如线段GH，GH=1.5dm，HN=0.8dm，将球拍向前水平推出ndm接球，如果接住了球，求n的取值范围．【变式9-1】如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　）A．3mB．3.5mC．4mD．4.5m【变式9-2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y=−0.5x2+10x−38，烟花可以达到的最大高度是米．【变式9-3】图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是50,25，OC=5．84 (1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD=75，AD=12，AB=9，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB．【变式9-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′=E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′，D′在抛物线上，边B′C′在ON′上，现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′=3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：  (1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．84 【考点题型十】二次函数应用-面积问题【典例10】以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．如图，△ABC是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形DEFG，E、F落在BA边上，D在BC边上，G在AC边上，（其中DE、DG、GF即为数学探究小组新添加的篱笆）．(1)若DE=204m，请求出矩形生态农业观光园DG边的长；(2)因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为485m．请求出该矩形生态农业观光园的面积最大值．【变式10-1】如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米，(1)分别用含x的代数式表示BC与S；(2)若S=54，求x的值；84 (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？【变式10-2】综合与实践在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如图1，已知三角形小木块△ABC，边BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的正方形零件PQMN的边长是多少？(2)如图2，已知三角形小木块△ABC，边BC=a，高AD=ℎ，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是多少？（用含a，ℎ的代数式表示）(3)如图3，已知四边形的小木块ABCD，测得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，CD上．求加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是多少？【变式10-3】如图，四边形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．84 (1)如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm，求筝形的面积？(2)已知筝形ABCD的对角线AC,BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6．试求当AC,BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？【考点题型十一】二次函数应用-利润问题【典例11】某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价x的值．【变式11-1】某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x/（元/件）80100销售量y/件10060(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．84 ②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【变式11-2】某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）x≥30存在如下图所示的一次函数关系．(1)试求出y与x的函数关系式；(2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）．【变式11-3】著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”．近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本．设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本）(1)直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价；(3)甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元a>0给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值．84 【考点题型十二】二次函数与几何综合应用【典例12】如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是坐标平面内一点，点P坐标(1,−2)．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OP，若点D在抛物线上且∠DBO+∠POB=90°，求点D的坐标；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+c当−1≤x≤4时的函数图象记为l1，将图象l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象l1的其余部分保持不变，得到一个新图象l2．若经过点P的一次函数y=mx+n的图象与图象l2在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围．【变式12-1】如图，抛物线y=−x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A0,4，B4,0．(1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．(2)点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标．(3)若点M坐标固定为1,6，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标．84 【变式12-2】如图，抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A−1，0，B4，0．(1)求抛物线的表达式；(2)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式12-3】如图，二次函数y=ax2+bx+ca<0的图象与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，已知OB=3OA，OC=OB．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标；若没有满足条件的P点，说明理由．【变式12-4】如图，点C为二次函数y=x2+2x+1的顶点，直线y=−x+m与该二次函数图象交于A(−3,4),B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．84 (1)求m的值及点C坐标；(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)连接AC、BC，求△ABC的面积；(4)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式12-5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C1,0．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在第二象限的抛物线上，且△AOD与△ABC面积相等，求D点坐标；(3)若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB，求AP的长；(4)在（3）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．84 【考点题型十三】二次函数与其他实际应用综合【典例13】【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y=−ax2+4ax+4a+1图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；【探究二】研究心形叶片的宽度：（2）如图3，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G．求叶片此处的宽度CC1；【探究三】探究幼苗叶片的长度（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y=−ax2+4ax+4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖）与水平线的夹角为45°，求幼苗叶片的长度PD．【变式13-1】综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案．【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，C1，C2皆为轴对称图形，且关于点M成中心对称，该段结构水平宽度为8米．84   【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱M1N1，M2N2竖直立于地面并支撑在对称中心M1，M2处．小温将长为2.8米的竹竿AB竖直立于地面，当点A触碰到顶棚时，测得N2B为1米．【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板．【任务】(1)确定中心：求图2中点M到该结构最低点的水平距离l．(2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求C1的函数表达式．(3)确定高度：求挡风板的高度．【变式13-2】图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是桥拱的横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．      (1)在图2中建立合适的直角坐标系后，求这条抛物线的函数表达式．(2)拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面的船身为矩形GHIJ，船顶为等腰三角形EFK．测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，FG=JK=0.4米，GH=JI=1.26米．为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设安置航行警戒线，要求如下：①游船底部HI在P，Q之间通行；②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．求PQ84 的最大值．84 清单07二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数【清单02】二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．【清单03】二次函数的图象及性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点84 增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小【清单04】抛物线的平移二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【清单05】二次函数与一元二次方程的关系1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．【清单06】用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值【清单07】用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的84 【考点题型一】二次函数的概念【典例1-1】下列函数中属于二次函数的是（      ）A．y=3x−1B．y=ax2+bx+cC．y=2x2−1D．y=x2+1x【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如y=ax2+bx+ca≠0的函数叫作二次函数可得答案．【详解】解：A、y=3x−1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、y=ax2+bx+c当a=0时，不是二次函数，故此选项不符合题意；C、y=2x2−1是二次函数，故此选项符合题意；D、y=x2+1x分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．故选：C．【典例1-2】关于x的函数y=(m−1)xm2+1+5是二次函数，则m的值是．【答案】−1【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，a、b、c是常数；根据概念得m−1≠0，m2+1=2，求解即可．【详解】解：由题意得：m−1≠0，m2+1=2，解得：m=−1；故答案为：−1．【变式1-1】下列属于二次函数的是（   ）A．y=−2x2+3B．y=2xC．y=1xD．y=−x+1【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+ca≠0其中a，b，c是常数的函数叫做二次函数．根据二次函数定义逐项判断即可．【详解】解：A、y=−2x2+3，是二次函数，故本选项符合题意；B、y=2x，是一次函数，故本选项不符合题意；84 C、y=1x，是反比例函数，故本选项不符合题意；D、y=−x+1，是一次函数，故本选项不符合题意；故选：A．【变式1-2】若y=(m−4)x2−5x+3表示y是x的二次函数，则m的取值范围为．【答案】m≠4【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于m的不等式是解题的关键．根据形如y=ax2+bx+ca,b,c为常数，a≠0的函数，叫做二次函数，可得答案．【详解】解：由题意得，m−4≠0，解得m≠4，故答案为：m≠4．【变式1-3】若y=m−2xm2−2+3x是关于x的二次函数，则m的值为．【答案】−2【分析】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数是解题的关键．利用二次函数定义可得m2−2=2，且m−2≠0，计算出m的值即可．【详解】解：∵y=m−2xm2−2+3x是关于x的二次函数，∴m2−2=2，且m−2≠0，解得：m=−2．故答案为：−2．【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质【典例2】对于抛物线y=−2x−12+3，下列判断正确的是（    ）A．函数最小值是3B．当x>1时，y随x的增大而增大C．抛物线的顶点坐标是−1,3D．对称轴为直线x=1【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数y=ax−ℎ2+k的图像和性质，由抛物线y=−2x−12+3可得出抛物线开口向下，对称轴直线为x=1，顶点坐标为：1,3，进而可得出函数的最大值为3，且当x>1时，y随x的增大而减小，即可判断．【详解】解：∵抛物线y=−2x−12+3，a=−2<0，∴抛物线开口向下，对称轴直线为x=1，顶点坐标为：1,3，84 ∴函数的最大值为3，且当x>1时，y随x的增大而减小，故选：D．【变式2-1】若二次函数y=x2+3的图象经过点−1,y1，3,y2，则y1与y2的大小关系为（   ）A．y1=y2B．y1>y2C．y1<y2D．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数y=x2+3的对称轴为y轴，以及开口向上可知，离对称轴越远，函数值越大，判断即可．【详解】解：∵二次函数解析式为：y=x2+3，∴对称轴为y轴，∴点−1,y1到对称轴的距离小于点3,y2到对称轴的距离，∵a=1>0，∴y1<y2，故C正确．故选：C．【变式2-2】抛物线y=x−12−2的顶点坐标是（     ）A．−1,−2B．1,−2C．−1,2D．1,2【答案】B【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式y=ax−ℎ2+ka≠0，顶点坐标为ℎ,k，即可解答．【详解】解：抛物线y=x−12−2的顶点坐标是1,−2，故选：B．【变式2-3】设A(−5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−x+12+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（    ）A．y2>y3>y1B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1D．y3>y1>y2【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x+1)2+3的开口向下，对称轴为直线x=−1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：∵抛物线y=−(x+1)2+3的开口向下，对称轴为直线x=−1，∵−5−−1=6,1−−1=2,2−−1=3，即6>3>2，∴A(−5,y1)离直线x=−1的距离最远，B(1,y2)点离直线x=−1最近，84 ∴y2>y3>y1．故选：A．【变式2-4】已知关于x的二次函数y=−x−52+1，当2<x<6时，y的取值范围为【答案】−8<y≤1【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x=5，函数有最大值1；当x=2时函数有最小值−8，进而求得它们的范围．【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=5，抛物线顶点坐标为5,1，∴在2<x<6范围内，当x=5，函数有最大值为1；当x=2时函数有最小值：y=−9+1=−8，故答案为：−8<y≤1．【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识【典例3】如图，抛物线C1:y=x2−4x的对称轴为直线x=a，将抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2，则图中的两条抛物线、直线x=a与y轴所围成的图形（阴影部分）的面积为．【答案】10【分析】本题考查了二次函数的平移，平移的性质，理解图中阴影部分为平行四边形OEFG是解题的关键．先求出l1的顶点坐标，再根据平移的性质求出C1的顶点坐标，G的坐标，求出平行四边形OEFG的面积即可．【详解】解：∵抛物线C1:y=x2−4x=x−22−4，∴对称轴为x=2，顶点为(2,−4)∵抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2，∴E点坐标为(5,0)，F点坐标为(2,1)．故两条抛物线、直线x=a与y轴所围成的图形（阴影部分）的面积为5×2=10．84 故答案为：10.【变式3-1】如图，已知抛物线y1=−12x2+4，−2≤x≤2，将y1向下平移2个单位长度后得抛物线y2，则图中阴影部分的面积S=．【答案】8【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积．【详解】解：根据题意知，图中阴影部分的面积可以转化成平行四边形的面积，故阴影部分面积为：2×4=8．故答案为：8．【变式3-2】如图，抛物线y=13x2−3与x轴交于A，B两点，F是以点C0,4为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段AF的中点，连接OD，BF则线段OD的最大值是．【答案】3【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．连接PB，根据函数解析式，求B坐标，然后求出BC=5，D是线段AF的中点，O是线段AB的中点，故BF是△ABF的中位线，当B、C、F三点共线，且点C在BF之间时，BF最大，即可求解．【详解】解：连接BC，CF，84 ∵抛物线y=13x2−3与x轴交于A、B两点，令y=0即0=13x2−3，解得x1=−3或x2=3，∴A−3,0,B3,0，∴OA=OB=3，∵C0,4，∴OC=4，∴BC=42+32=5，D是线段AF的中点，O是线段AB的中点，故OD是△ABP的中位线，OD=12BF，OD最大，即BF最大，即B、C、F三点共线，且点C在BF之间时，BF最大，∴BFmax=BC+CF=6，ODmax=12BFmax=3，故答案为：3．【变式3-3】将抛物线y=−x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接OA、AB如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是．84 【答案】B(23,0)【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．由题意设A点坐标为(m,−m2)，根据等边三角形的性质得到B(2m,0)，解出m的值即可得到答案．【详解】解：∵点A在抛物线y=−x2上，∴设A点坐标为(m,−m2)，∵△AOB是等边三角形，∴B(2m,0)，m=33m2，∴m=3或m=0（舍），∴B(23,0)．故答案为：B(23,0)．【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为1,1、1,4、4,4．若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是．  【答案】116≤α≤4【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为1,1、1,4、4,4．∴D4，1，当抛物线经过点B1,4时，则a=4，当抛物线经过D4,1时，a=116，观察图象可知，抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是116≤α≤4，故答案为：116≤α≤4．84 【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质【典例4】已知二次函数y=2x2−x+1，则下列关于该函数的结论正确的是（    ）A．顶点坐标为12,78B．函数的最大值为78C．当x≤1时，y随x的增大而减小D．若1<x1<x2，则y1<y2【答案】D【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先利用配方法得到y=2x−142+78，可根据二次函数的性质进行判断．【详解】解：∵y=2x2−x+1=2x−142+78，∴抛物线顶点坐标为14,78，∴抛物线的开口向上，顶点坐标为14,78，函数的最小值为78，抛物线的对称轴为直线x=14，∴当x≤14时，y随x的增大而减小，当x≥14时，y随x的增大而增大，∴若1<x1<x2，则y1<y2，∴选项A，B，C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意，故选：D【变式4-1】下列关于二次函数y=−3x+1x−2的图象和性质的叙述中，正确的是（    ）A．点0,2在函数图象上B．开口方向向上C．对称轴是直线x=1D．与直线y=3x有两个交点【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．求出x=0时，y的值即可判断选项A；根据−3<0即可判断选项B；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项C；联立二次函数与直线y=3x可得一个关于x的一元二次方程，由此即可判断选项D．【详解】解：当x=0时，y=−3×1×−2=6，则点0,2不在函数图象上，选项A错误；∵−3<0，∴抛物线的开口方向向下，选项B错误；y=−3x+1x−2=−3x−122+274，则对称轴是直线x=12，选项C错误；84 联立y=−3x+1x−2y=3x，得x2−2=0，解得x=±2，则与直线y=3x有两个交点，选项D正确；故选：D．【变式4-2】已知二次函数y=−mx2+2mx+4m>0经过点A−2,y1，点B1,y2，点C3,y3，那么y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y2<y3<y1D．y3<y1<y2【答案】B【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：由二次函数y=−mx2+2mx+4m>0可知抛物线开口向下，对称轴为x=−2m−2m=1，∴抛物线上点到对称轴距离越近，函数值y越大，∵二次函数y=−mx2+2mx+4m>0经过点A−2,y1，点B1,y2，点C3,y3，∴三个点A、B、C到对称轴的距离为3、0、2，∴y1<y3<y2，故选：B．【变式4-3】二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0、B两点，下列说法正确的是（    ）A．它的对称轴为直线x=1B．顶点坐标为−12,−6C．点B的坐标为2,0D．当x<−1时，y随x的增大而增大【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点．待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0，∴9a−3−6=0，解得：a=1，∴二次函数解析式为y=x2+x−6，∵y=x2+x−6=x+122−254，84 ∴二次函数图象的对称轴为直线x=−12，顶点坐标为−12,−254，故A，B选项不正确，不符合题意；∵a=1>0，∴抛物线开口向上，∴当x<−1时，y随x的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；当y=0时，x2+x−6=0，解得：x1=−3,x2=2，∴点B的坐标为2,0，故C选项正确，符合题意；故选：C．【变式4-4】抛物线y=ax2+bx+ca≠0，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（    ）x−2012my−5343−5A．开口向下B．顶点坐标为1,4C．当x<0时，y随x的增大而减小D．m=4【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性、增减性以及二次函数的顶点坐标．根据图表信息判断出抛物线的开口向下对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4)，再根据抛物线的对称性解答．【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4)，∵x=1时，y=4最大，∴抛物线开口向下，当x<1时，y随x的增大而增大，当x=3与x=−1时，y值相等，∵x=−2时，y=−5，∴x=m=4时，y=−5．故选项A、B、D正确，选项C错误，故选：C．84 【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题【典例5】已知二次函数y=x2−2ax+a2−1，当−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（    ）A．1或0B．1或2−3C．2−3或3−1D．0或3−1【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数y=x2−2ax+a2−1，可以得到该函数的对称轴，再根据当−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为3和二次函数的性质，分类讨论列出方程，然后求解即可．【详解】解：二次函数y=x2−2ax+a2−1=x−a2−1，∴该函数的对称轴为直线x=a，函数的最小值为−1，∵函数的最大值与最小值的差为3，∴函数的最大值为2，∵当−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为3，∴当a−−1>2−a，即a>12时，x=−1时，y=2，∴−12+2a+a2−1=2，解得a1=3−1，a2=−3−1（舍去），当a−−1<2−a，即a<12时，x=2时，y=2，∴22−4a+a2−1=2，解得a1=2+3（舍去），a2=2−3，故选：C．【变式5-1】已知二次函数y=x2−bx+1，当−32≤x≤12时，函数y有最小值12，则b的值为（    ）A．−2或32B．−116或32C．±2D．−2或−116【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握根据二次函数的最值求系数值是解题的关键．分三种情况：当−32<b2<12时，即−3<b<1时，当x=−b2时，函数有最小值12；当b2≥12时，即b>1时，当x=12时，函数有最小值12；当b2≤−32时，即b≤−3时，当x=−32时，函数有最小值12；分别求解即可．84 【详解】解：∵y=x2−bx+1=x−b22+1−b24，又∵当−32≤x≤12时，函数y有最小值12，∴当−32<b2<12时，即−3<b<1时，当x=−b2时，函数有最小值12，∴1−b24=12，解得：b=±2，∴b=−2，当b2≥12时，即b>1时，当x=12时，函数有最小值12，∴122−12b+1=12，解得：b=32；当b2≤−32时，即b≤−3时，当x=−32时，函数有最小值12，∴−322+32b+1=12，解得：b=−116（舍去），综上，当−32≤x≤12时，函数y有最小值12，b的值为−2或32．故选：A．【变式5-1】已知二次函数y=mx2−4mx+1，其中m>0．若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则m的取值范围为（    ）A．12<m<34B．1<m≤54C．54<m≤32D．54≤m<32【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由y=mx2−4x+4−4m+1=mx−22−4m+1，可知函数的最小值为1−4m，当0≤x≤4时，最大值为1，对应的y的整数值有6个，则−5<1−4m≤−4，解得即可．【详解】∵y=mx2−4mx+1∴y=mx2−4x+4−4m+1，y=mx−22−4m+1，∴抛物线的顶点坐标为2,1−4m，84 ∴当x=0或x=4时，y=1，∴当x=2时，y有最小值为1−4m，∵m>0，∴当0≤x≤4时，y的最大值为1，∵m>0，当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，∴这6个整数值为：1、0、−1、−2、−3、−4，∴−5<1−4m≤−4解得：54≤m<32故选：D【变式5-2】已知抛物线y=x²+2a−1x−3，若当−1≤x≤3时，函数的最大值为1，则a的值为．【答案】−1或−13/−13或−1【分析】本题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论．先求出二次函数的对称轴为直线x=−2a−12，然后根据二次函数的增减性并结合−1≤x≤3，分类讨论解答即可．【详解】解：∵二次函数y=x²+2a−1x−3，∴二次函数的对称轴为直线x=−2a−12，①当−2a−12>3，即a<−52时，此时二次函数在−1≤x≤3上y随x的增大而减小，在x=−1取最大值，即1−2a−1−3=1，解得a=−1，与a<−52不符；②当−1+32≤−2a−12≤3即−52≤a≤−12时，此时x=−1离二次函数对称轴更远，∴二次函数在x=−1取最大值，即1−2a−1−3=1，解得a=−1；③当−1≤−2a−12<−1+32即−12<a≤32时，此时x=3离二次函数对称轴更远，∴二次函数在x=3取最大值，即9+32a−1−3=1，解得a=−13；④当−2a−12<−1即a≥32时，此时二次函数在−1≤x≤3上y随x的增大而增大，在x=3取最大值，9+32a−1−3=1，解得a=−13与a≥32不符．综上，a的值为−1或−13．84 故答案：−1或−13．【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息【典例6】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b≤m(am+b)；④a−b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．其中正确的个数是（    ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，则a>0，∵对称轴为直线x=−b2a=1，则b=−2a<0，∴2a+b=0，故②正确抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵当x=1时，取得小值，∴a+b+c≤am2+bm+c，当m为任意实数，则a+b≤mam+b，故③正确，④∵抛物线关于x=1对称，∴x=−1和x=3的函数值相同，即：a−b+c=9a2+3b+c，84 由图象知，当x=3时，函数值大于0，∴a−b+c>0，故④正确；⑤当x1,x2关于x=1对称时：即：x1+x2=2x=2时，x1,x2对应的函数值相同，即：ax12+bx1+c=ax22+bx2+c，∴ax12+bx1=ax22+bx22∴若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2；故⑤正确；综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，故选：C．【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，现给以下结论：①abc<0；②c+2a<0；③9a−3b+c=0；④4ac−b2>0；⑤a−b≥mam+b（m为任意实数）．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由抛物线可知：a>0，c<0对称轴x=−b2a<0，∴b>0，∴abc<0，故①正确；②由对称轴可知：−b2a=−1，84 ∴b=2a，∴y=ax2+2ax+c,∵抛物线过点1,0，∴a+2a+c=0，∴c+2a=−a<0，故②正确；③1,0关于x=−1的对称点为−3,0，∴x=−3时，y=9a−3b+c=0，故③正确；④抛物线与x轴有两个交点，∴Δ>0，即b2−4ac>0，∴4ac−b2<0，故④错误；⑤当x=−1时，y的最小值为a−b+c，∴x=m时，y=am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a−b+c，即a−b≤mam+b，故⑤错误；故错误的有：④⑤．故选：B．【变式6-2】如图，已知顶点为−3,−6的抛物线y=ax2+bx+c过−1,−4，则下列结论：①abc<0；②对于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③−5a+c=−4；④若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1；⑤a<45；其中正确的个数为（    ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与y轴的交点，即可判断a,b,c的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把−1,−4代入y=ax2+bx+c，得a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−484 ，故③正确，由−1,−4关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)，进而得若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④错误；由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为−3,−6，b=6a，得c=9a−6，再由−5a+c=−4，得a=12<45，故⑤正确．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=−3=−b2a<0，∴b>0，b=6a，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc<0，故①正确；∵抛物线的顶点坐标为(−3,−6)，即x=−3时，函数有最小值，∴ax2+bx+c≥−6，∴对于任意的x，均有am2+bm+c+6≥0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过−1,−4，∴a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确；∵抛物线y=ax2+bx+c过−1,−4，−1,−4关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)，∴若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④错误；∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为−3,−6，b=6a，∴4ac−b24a=4ac−36a24a=c−9a=−6，∴c=9a−6，∵−5a+c=−4，∴−5a+9a−6=−4，解得a=12<45，故⑤正确．∴正确的个数为3.故选：B．【变式6-3】如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A−1,0，与y轴的交点在0,−2和0,−1之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac−b2<8a；③13<a<23；④b>c；其中正确结论的个数有（　　）84 A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+ca≠0系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵图象与x轴交于点A−1,0，对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为3,0，∴当x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，故①错误；②∵函数开口方向向上，∴a>0，∵抛物线与y轴交点在0,−2和0,−1之间，对称轴为直线x=1，∴顶点纵坐标要小于−1，∴4ac−b24a<−1，且a>0，∴4ac−b2<−4a<8a，故②正确；③∵图象与y轴的交点在0,−2和0,−1之间，∴−2<c<−1，∵图象与x轴交于点A−1,0和3,0，∴ax2+bx+c=0的两根为−1和3，由韦达定理可知：ca=−1×3，∴c=−3a，∴−2<−3a<−1，∴13<a<23，故③正确；④∵对称轴为直线为x=−b2a=1，84 ∴b=−2a，∵a>0，c=−3a，∴b>c，故④正确．综上所述，正确的有②③④，故选：C．【变式6-4】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为12,1，下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③a+b+c<0；④a+b=0；⑤4ac−b2=4a．其中正确的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=12，∴b=−a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ=b2−4ac>0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为x=12，∴x=0和x=1对应的函数值相等，∴x=1时，y>0，即a+b+c>0，所以③错误；84 ∵b=−a，∴a+b=0，所以④正确；∵顶点坐标纵坐标为1，∴4ac−b24a=1，∴4ac−b2=4a，所以⑤正确．故选：D．【考点题型七】二次函数的平移变换【典例7】将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（    ）A．y=x+52+2B．y=x−52+2C．y=x+52−2D．y=x−52−2【答案】A【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律．根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；【详解】解：将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后可得：y=x+52+2，故选：A．【变式7-1】将抛物线y=3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　）A．y=3(x+1)2+2B．y=3(x−1)2+2C．y=3(x−2)2+1D．y=3(x−2)2−1【答案】C【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】将抛物线y=3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是y=3(x−2)2+1．故选C．【变式7-2】要得到二次函数y=−x−22+1的图象，需将y=−x2的图象（　　）84 A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】B【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．根据函数图象平移的法则解答即可．【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律：二次函数y=−x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数y=−x−22+1的图象．故选：B．【变式7-3】在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为（    ）A．y=x−32−1B．y=x+32+3C．y=x+32−1D．y=x−32+3【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：将抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为y=x−32+1−2，即y=x−32−1．故选：A．【考点题型八】二次函数的交点问题【典例8】抛物线y1=−x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式y1>y2的解集是（   ）84 A．x<0B．0<x<4C．0<x<2D．2<x<4【答案】C【分析】根据函数图像，写出抛物线在直线上方部分的x的范围，即可求解，本题考查了二次函数交点确定不等式解集，解题的关键是：应用数形结合方法，将函数图像与不等式解集联系起来．【详解】解：由图像可知，抛物线y1=−x2+4x与直线y2=2x其中一个交点坐标为0,0，另一交点横坐标为2，代入y2=2x，解得y2=4，∴另一交点坐标为2,4，∴不等式y1>y2的解集是0<x<2，故选：C．【变式8-1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，当函数值y<0时，自变量x的取值范围是．【答案】−1<x<3【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值y<0时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴下方时，对应的x的取值范围，由此得到答案．【详解】解：观察图象知，当函数值y<0时，自变量x的取值范围是−1<x<3，故答案为：−1<x<3．【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxa>0和直线y=kxk>0交于点O和点A，则关于x的不等式ax2+bx>kx的解集为．84 【答案】x<0或x>3【分析】本题考查二次函数和不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解；通过抛物线与直线的交点即可求解．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)交于点O和点A，∴x<0或x>3时，抛物线在直线的上方，∴不等式ax2+bx>kx的解集为：x<0或x>3，故答案为：x<0或x>3．【变式8-3】如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(−5,−3)，B(3,4)，则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解是．【答案】x<−5或x>3【分析】本题考查了二次函数与不等式．熟练掌握数形结合法求不等式的解集是解题的关键．根据不等式ax2+bx+c>kx+m的解为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的x的取值范围，结合图象作答即可．【详解】解：由题意知，不等式ax2+bx+c>kx+m的解为二次函数图象在一次函数图象上方所对应的x的取值范围，由图象可知，x<−5或x>3，故答案为：x<−5或x>3．【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题【典例9】【综合与实践】84 为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，MN=28dm，EF=1.5dm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球．以MN所在直线为x轴，M为原点作平面直角坐标系，xdm表示球与M的水平距离，ydm表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的表达式为y1=−120x−tx−t−12，设CP段抛物线的表达式为y2=−120x−ℎ2+k．(1)①点F的坐标为______；②用含t的式子表示：点B的坐标为______；点C的坐标为______；(2)当球在球网EF正上方时到达最高点，求此时球与F的距离；(3)若球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，乙的球拍在N处正上方如线段GH，GH=1.5dm，HN=0.8dm，将球拍向前水平推出ndm接球，如果接住了球，求n的取值范围．【答案】(1)①14，1.5；②t，0，t+12，0(2)此时球与F的距离为0.3dm(3)1≤n≤7【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，需认真审题，完成由实际问题到理论知识的转化，采用顺利解题．（1）①依题意求得F坐标即可；②求抛物线与x轴的交点即可；（2）先求出解析式，再求得球与F的距离；（3）将实际问题转化为求抛物线与直线的交点问题即可．【详解】（1）解：①∵点E为MN中点，EF=1.5，MN=28，∴ME=12MN=14，∴F14，1.5，故答案为：14，1.5；84 ②∵B，C是x轴与抛物线的交点，∴令yt=0，则−120x−tx−t−12=0，解得：x1=t，x2=t+12，∴Bt，0，Ct+12，0，故答案为：t，0，t+12，0；（2）解：∵BC段抛物线与x轴交于t，0，t+12，0，∴BC段抛物线的对称轴为直线：x=t+t+122=t+6，当球在EF上方到达最高点时，即t+6=14，∴t=8，即：BC段抛物线为y1=−120x−8x−20，当x=14时，y1=−120×14−8×14−20=1.8，∵1.8−1.5=0.3．∴此时球与F的距离为0.3dm；（3）解：∵球第二次的落点在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，∴球过19，0，且最高点为1.25，∴−12019−ℎ2+1.25=0，解得ℎ=24或14（舍去），当−120x−242+1.25=0.8时，解得：x=27或21，又∵1.25<0.8+1.5，28−27=1，28−21=7，∴1≤n≤7．【变式9-1】如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　）84 A．3mB．3.5mC．4mD．4.5m【答案】C【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求AB的长，而OA已知，所以只需求出OB即可，OB就是C点的横坐标．【详解】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=−0.2x2+3.5中得：x=±1.5(舍去负值)，即OB=1.5m，所以l=AB=2.5+1.5=4m．故选：C．【变式9-2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y=−0.5x2+10x−38，烟花可以达到的最大高度是米．【答案】12【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案．【详解】解：∵y=−0.5x2+10x−38=−0.5x−102+12，又∵a=−0.5<0，∴当x=10（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米．故答案为：12．【变式9-3】图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C84 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是50,25，OC=5．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD=75，AD=12，AB=9，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB．【答案】(1)抛物线的表达式为y＝−1125x2+45x+5(2)石块不能飞越城墙AB【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用．（1）由抛物线的顶点坐标是50,25可设石块运行的函数关系式为y=ax−502+25，把点C坐标代入即可解答；（2）由OD=75得到点D的横坐标为75，将x=75代入函数y=−1125x−502+25，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距OD的高度为20，又BD=21>20，即可解答．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是50,25，∴设石块运行的函数关系式为y=ax−502+25，∵OC=5∴点C的坐标为0,5，∵抛物线过点C0,5，∴a0−502+25=5，代入，得502a+25=5，解得：a=−1125∴抛物线的表达式为y=−1125x−502+25，即y=−1125x2+45x+5；（2）∵OD=75，∴点D的横坐标为75，将x=75代入函数y=−1125x−502+25，得y=20，即石块飞到点D的竖直方向上时距OD的高度为20，84 ∵AD=12，AB=9，∴BD=AD+AB=12+9=21>20，∴石块不能飞越城墙AB．【变式9-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′=E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′，D′在抛物线上，边B′C′在ON′上，现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′=3m时，S2=122m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：  (1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．【答案】(1)y=−19x2+43x(2)S1=18m2，S1>S2【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．（1）由题意知抛物线的顶点P6,4，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S1=AB·BC=18m2；再比较S1，S2的大小即可．【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点P6,4，设抛物线的函数表达式为y=ax−62+4，把O0,0代入得0=a0−62+4，84 解得：a=−19，∴y=−19x−62+4=−19x2+43x，∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；（2）在y=−19x2+43x中，令y=3得：3=−19x2+43x；解得x=3或x=9，∴BC=9−3=6m，∴S1=AB·BC=3×6=18m2，∵18>122，∴S1>S2．【考点题型十】二次函数应用-面积问题【典例10】以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．如图，△ABC是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形DEFG，E、F落在BA边上，D在BC边上，G在AC边上，（其中DE、DG、GF即为数学探究小组新添加的篱笆）．(1)若DE=204m，请求出矩形生态农业观光园DG边的长；(2)因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为485m．请求出该矩形生态农业观光园的面积最大值．【答案】(1)75m(2)该矩形生态农业观光园的面积最大值为22500m2【分析】（1）过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点K，根据勾股定理求出AC=AB2−BC2=400m，根据等积法求出CH=BC×ACAB=300×400500=240m，证明四边形DEHK为矩形，得出DE=KH=204m，证明△CDG∽△CBA，得出DGAB=CKCH，代入数据求出结果即可；84 （2）设DE=x，DG=y，则CK=240−x，证明△CDG∽△CBA，得出DGBA=CKCH，求出y=25240−x12，得出S矩形DEFG=DE⋅DG=−2512x−1202+30000，根据新添加的篱笆总长最多只能为485m，得出x+x+y≤485，即2x+25240−x12≤485，求出x≥180，根据y=25240−x12>0，得出x<240，在180≤x<240范围内求出二次函数的最大值即可．【详解】（1）解：过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点K，如图所示：∵∠C=90°，AB=500m，BC=300m，∴AC=AB2−BC2=400m，∵S△ABC=12BC×AC=12AB×CH，∴CH=BC×ACAB=300×400500=240m，∵四边形DEFG为矩形，∴∠DEF=∠EFG=∠DGF=∠EDG=90°，DG∥AB，∵∠KDE=∠DEH=∠EHK=90°，∴四边形DEHK为矩形，∴DE=KH=204m，∴CK=CH−KH=240−204=36m，∵DG∥AB，∴△CDG∽△CBA，∴DGAB=CKCH，即DG500=36240，解得：DG=75，即矩形生态农业观光园DG边的长为75m．（2）解：设DE=x，DG=y，则CK=240−x，根据解析（1）可知：△CDG∽△CBA，84 ∴DGBA=CKCH，即y500=240−x240，解得：y=25240−x12，∴S矩形DEFG=DE⋅DG=xy=x⋅25240−x12=−2512x2+500x=−2512x−1202+30000，∵新添加的篱笆总长最多只能为485m，∴DE+GF+DG≤485，即x+x+y≤485，把y=25240−x12代入得：2x+25240−x12≤485，解得：x≥180，∵y=25240−x12>0，∴x<240，∴180≤x<240，∵−2512<0，对称轴为直线x=120，∴当x=180时，S矩形DEFG取最大值，且最大值为：−2512180−1202+30000=22500，即该矩形生态农业观光园的面积最大值为22500m2．84 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，不等式组的应用，求二次函数的最值，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的性质．【变式10-1】如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米，(1)分别用含x的代数式表示BC与S；(2)若S=54，求x的值；(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？【答案】(1)BC=33−3x，S=−3x2+33x(2)9(3)当x=8时，S有最大值，最大值为−3×8−62+108=96．【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．（1）根据矩形的性质列式求出BC，再根据矩形面积公式求出S即可；（2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案；（3）先求出S=−3x2+36x，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意，BC=33−3x，则矩形ABCD菜园的面积为S=x33−3x=−3x2+33x；（2）解：当S=54时，由54=−3x2+33x得x2−11x+18=0，解得x1=2，x2=9，∵墙长为12米，∴0<33−3x≤12，则7≤x<11，∴x=9，答：x值为9；（3）解：由题意，BC=33+2×1.5−3x=36−3x，84 ∴S=x36−3x=−3x2+36x=−3x−62+108，∵墙长为12米，篱笆长为33米，∴0<36−3x≤12，∴8≤x<12，∵−3<0，∴当x=8时，S有最大值，最大值为−3×8−62+108=96．【变式10-2】综合与实践在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如图1，已知三角形小木块△ABC，边BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的正方形零件PQMN的边长是多少？(2)如图2，已知三角形小木块△ABC，边BC=a，高AD=ℎ，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是多少？（用含a，ℎ的代数式表示）(3)如图3，已知四边形的小木块ABCD，测得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，CD上．求加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是多少？【答案】(1)加工成的正方形零件PQMN的边长是48cm；(2)加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是aℎ4；(3)加工成的矩形零件PQMN面积的最大值为12503cm2．【分析】（1）设正方形零件PQMN的边长xcm，由四边形PQMN是正方形得PN∥BC，则△APN∽△ABC，故x120=80−x80，即可解得加工成的正方形零件PQMN的边长是48cm；（2）设PQ=x，由△APN∽△ABC可得PNa=ℎ−xℎ，故PN=aℎ−xℎ，从而S矩形PQMN=PN⋅PQ=aℎ−xℎ⋅x=−aℎx2+ax=−aℎx−ℎ22+aℎ4，由二次函数性质可得答案；84 （3）延长BA与CD交于点G，过点G作GH⊥BC于点H，交AD于点K，交PN于点E，由∠B=∠C=60°得△GBC是等边三角形，有BH=CH=50cm，GH=503cm，设PQ=EH=xcm，则GE=503−xcm，故S四边形PQMN=PQ⋅PN=x100−2x3=−233x−2532+12503，由二次函数性质可得答案；本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键．【详解】（1）设正方形零件PQMN的边长xcm，∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥BC，∵AD是△ABC的高，∴AE是△APN的高，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴PNBC=AEAD（相似三角形对应高的比等于相似比），∴x120=80−x80，解得x=48，∴加工成的正方形零件PQMN的边长是48cm；（2）设PQ=x，∵∠EPQ=∠EQD=∠QDE=90°，∴四边形PQDE是矩形，∴DE=PQ=x，PN∥BC，∴AE=ℎ−x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴PNBC=AEAD（相似三角形对应高的比等于相似比），∴PNa=ℎ−xℎ，∴PN=aℎ−xℎ，∴S矩形PQMN=PN⋅PQ=aℎ−xℎ⋅x=−aℎx2+ax=−aℎx−ℎ22+aℎ4，84 ∵−1<0，∴当x=ℎ2时，S矩形PQMN的最大值为aℎ4，∴加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是aℎ4；（3）延长BA与CD交于点G，过点G作GH⊥BC于点H，交AD于点K，交PN于点E，如图，∵∠B=∠C=60°，∴△GBC是等边三角形；∵BC=100cm，∴BH=CH=50cm，GH=503cm，∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△GPN是等边三角形，设PQ=EH=xcm，则GE=503−xcm，∴PE=EN=GE3=503−x3，∴PN=1003−2x3=100−2x3，∴S四边形PQMN=PQ⋅PN=x100−2x3=−233x−2532+12503，∵−233<0，∴当x=253时，S四边形PQMN取最大值12503，∴加工成的矩形零件PQMN面积的最大值为12503cm2．【变式10-3】如图，四边形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．84 (1)如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm，求筝形的面积？(2)已知筝形ABCD的对角线AC,BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6．试求当AC,BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？【答案】(1)24平方厘米(2)AC=3,BD=3时，面积有最大值，最大为92【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，二次函数的性质，能用AC长表示出筝形的面积是解题的关键．（1）由AD=CD,AB=BC可得出点B和点D都在AC的垂直平分线上，所以AC⊥BD，由S筝形=S△ADC+S△ABC=12AC⋅DO+12AC⋅BO=12AC⋅DO+BO=12AC⋅BD求解即可；（2）设AC的长为xcm，则BD=6−xcm，用x表示出筝形的面积，再根据二次函数的最值求解即可．【详解】（1）解：∵AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上．同理点B在AC的垂直平分线上．∴BD垂直平分AC．所以AC⊥BD．∴S△ADC=12AC⋅DO，S△ABC=12AC⋅BO，则S筝形=S△ADC+S△ABC=12AC⋅DO+12AC⋅BO=12AC⋅DO+BO=12AC⋅BD．又筝形的两条对角线长分别为6cm，8cm，84 所以S筝形=12×6×8=24cm2．（2）解：令AC=xcm，则BD=6−xcm，由（1）知，S筝形ABCD=12x⋅6−x=−12x2+3x=−12x−32+92，又AC,BD的长度为整数值，则当AC=3时，S筝形ABCD有最大值，最大值为92．此时BD=6−3=3cm．【考点题型十一】二次函数应用-利润问题【典例11】某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价x的值．【答案】(1)y=−10x+74044≤x≤52(2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大，最大利润是2640元．(3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点，（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×（售价−进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；（3）根据题意得剩余利润为w−200，利用函数性质求出w−200≥2200时的x的取值范围即可；解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．【详解】（1）根据题意，得y=300−10x−44=−10x+740，∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+74044≤x≤52；（2）根据题意，得w=−10x+740x−40=−10x−572+2890．∵−10<0，又对称轴直线x=57，且44≤x≤52，84 ∴当x=52时，w有最大值，最大值为2640，∴将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大，最大利润是2640元；（3）依题意可得剩余利润为w−200元．∵捐款后每天剩余利润等于2200元，∴w−200=2200，即−10x−572+2890−200=2200，解得x=50或x=64（舍去），∴为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元．【变式11-1】某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x/（元/件）80100销售量y/件10060(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y=−2x+260(2)①W=−2x2+380x−15600；②W有最大值．最大值为2400【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．（1）设y=kx+b，待定系数法求函数解析式即可；（2）①利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式；②利用二次函数的性质，求最值即可．【详解】（1）解：设销售量y关于售价x的函数关系式为y=kx+b．根据题意，得80k+b=100100k+b=60解得：k=−2b=260，∴销售量y关于售价x的函数关系式为：y=−2x+260．（2）解：①由（1）知每天的销售量y=−2x+260．∵商品进价为60元/件，84 ∴W与x之间的函数关系式为W=−2x+260x−60即W=−2x2+380x−15600；②∵1.5×60=90．∴60<x≤90，∴W=−2x2+380x−15600=−2x−952+2450．∵−2<0．∴当x=90时．W有最大值．最大值为2400．【变式11-2】某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）x≥30存在如下图所示的一次函数关系．(1)试求出y与x的函数关系式；(2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）．【答案】(1)y=−20x+100030≤x≤50(2)当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元(3)32≤x≤38【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用：（1）由图象过点30,400和40,200易求直线解析式；（2）每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答；（3）求出当P=4230时，x的直即可得到答案．【详解】（1）解：设y=kx+b，由图象可知30k+b=40040k+b=200解得k=−20b=100084 ∴y=−20x+1000，∴y与x的函数关系式为：y=−20x+100030≤x≤50；（2）解：由题意得P=x−20y=x−20−20x+1000=−20x2+1400x−20000．∵a=−20<0，∴p有最大值．∴当x=−14002×−20=35时，P有最大值，最大值为−20×352+1400×35−20000=4500．∴当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元．（3）解：当P=4320时，则−20x2+1400x−20000=4320，整理得x2−70x+1216=0，解得x1=32，x2=38，∵−20<0，∴抛物线的开口向下，∴当每天利润不得低于4320元时，销售单价x的范围为32≤x≤38．【变式11-3】著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”．近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本．设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本）(1)直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价；(3)甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元a>0给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值．【答案】(1)y=−20x+1000(2)单价为25元(3)5【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．84 （1）依据题意，根据原销售件数减去减少的件数即为所求；（2）依据题意，根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；（3）依据题意，根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．【详解】（1）由题意，y=700−x−1510×200=−20x+1000．∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，∴10≤x≤30．（2）由题意，得：x−10−20x+1000=7500，解之得：x1=25，x2=35．∵10≤x≤30，∴x=25．答：该书的销售单价为25元．（3）由题意，设每天的销售利润为w元，∴w=x−10−a−20x+1000=−20x−50x−10−a∴对称轴为直线x=30+a2．∵10≤x≤30在对称轴左侧，且抛物线开口向下，∴w随x的增大而增大．∴x=30时，w最大=6000．∴−20×30−50×30−10−a=6000．∴a=5．答：a的值为5．【考点题型十二】二次函数与几何综合应用【典例12】如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是坐标平面内一点，点P坐标(1,−2)．84 (1)求抛物线的解析式；(2)连接OP，若点D在抛物线上且∠DBO+∠POB=90°，求点D的坐标；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+c当−1≤x≤4时的函数图象记为l1，将图象l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象l1的其余部分保持不变，得到一个新图象l2．若经过点P的一次函数y=mx+n的图象与图象l2在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)−12,74或−32,−94(3)−3<n≤−1且n≠−2【分析】（1）设交点式y=a(x+1)(x−3)，然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）如图1中，如图1中，作PH⊥OB于H．由P(1,−2)，推出tan∠OPH=12，由∠DBO+∠POB=90°，∠POB+∠P=90°，推出∠DBO=∠P，推出tan∠DBO=12，设BD交y轴于E，则E0,32，可得直线BD的解析式为y=−12x+32，利用方程组即可求出点D坐标，同法求出D′；（3）当直线y=mx+n经过P(1,−2)，B(3,0)时，则有m+n=−23m+n=0，解得m=1n=−3，可得一次函数的解析式为y=x−3，观察图象即可解决问题．【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，把C(0,3)代入得a⋅1⋅(−3)=3，解得a=−1，所以抛物线解析式为y=−(x+1)(x−3)，即y=−x2+2x+3；（2）解：如图1中，作PH⊥OB于H．84 ∵P(1,−2)，∴tan∠OPH=12，∵∠DBO+∠POB=90°，∠POB+∠P=90°，∴∠DBO=∠P，∴tan∠DBO=12，设BD交y轴于E，则E0,32，设直线BD的解析式为y=kx+m，把E0,32，B(3,0)代入，得m=323k+m=0，解得：k=−12m=32，∴直线BD的解析式为y=−12x+32，由y=−x2+2x+3y=−12x+32，解得x=3y=0或x=−12y=74，∴D−12,74．当点D′在x轴下方时，同理可求得直线BD′的解析式为y=12x−32，由y=−x2+2x+3y=12x−32，解得x=3y=0或x=−32y=−94．∴D′−32,−94．（3）解：如图2中，84 当直线y=mx+n经过P(1,−2)，B(3,0)时，则有m+n=−23m+n=0，解得m=1n=−3，∴一次函数的解析式为y=x−3，当x=4时，y=−5，当直线y=mx+n经过P(1,−2)，(4,−5)时，则有m+n=−24m+n=−5，解得m=−1n=−1，∴一次函数y=−x−1，观察图象可知：−3<n≤−1且n≠−2时，直线经过点P的一次函数y=mx+n的图象与图象l2在第四象限内恰有两个公共点．【点睛】本题考查二次函数综合题，折叠的性质，一次函数的应用，二次函数图象性质，解直角三角形，待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【变式12-1】如图，抛物线y=−x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A0,4，B4,0．(1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．(2)点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M84 点的坐标．(3)若点M坐标固定为1,6，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标．【答案】(1)y=−x2+3x+4；C−1,0(2)M2,6(3)点Q的坐标为3,4或2−7,−1+7或2+7,−1−7【分析】本题考查二次函数的综合问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出直线AB的解析式，然后过点M作MN⊥x轴交AB于点N，设点M的坐标为(x,−x2+3x+4)，则点N的坐标为(x,−x+4)，即可得到MN的长，然后利用S△AMB=12AB⋅MN求出解析式得到最值即可；（3）分为点Q在AB上方和点Q在AB下方两种情况，求出过点Q的直线解析式，然后求直线与抛物线的交点即可解题．【详解】（1）解：把A0,4，B4,0两点代入得：c=4−16+4b+c=0，解得b=3c=4，∴抛物线的表达式为y=−x2+3x+4，令y=0，则−x2+3x+4=0，解得：x=4或x=−1，∴点C的坐标为(−1,0)；（2）设直线AB的解析式为y=kx+a，代入得a=44k+a=0，解得k=−1a=4，∴直线AB的解析式为y=−x+4，过点M作MN⊥x轴交AB于点N，设点M的坐标为(x,−x2+3x+4)，则点N的坐标为(x,−x+4)，∴MN=yM−yN=−x2+3x+4−(−x+4)=−x2+4x，∴S△AMB=12OB⋅MN=12(−x2+4x)×4=−2(x−2)2+8，∴当x=2时，S△AMB最大，这时点M的坐标为(2,6)；84 （3）解：∵当x=1时，y=6∴点M在抛物线上，∴S△AMB=−2(1−2)2+8=6，当点Q在AB上方时，设过点Q且与AB平行的直线解析式为y=−x+m，把1,6代入得−1+m=6，解得m=7，∴y=−x+7，解方程组y=−x+7y=−x2+3x+4得x=1y=6，x=3y=4，∴点Q的坐标为(3,4)；当点Q在AB下方时，则过点Q且与AB平行的直线为直线y=−x+4向下平移3个单位长度，即为y=−x+1，解方程组y=−x+1y=−x2+3x+4得x=2+7y=−1−7，x=2−7y=−1+7，∴点Q的坐标为2−7,−1+7或2+7,−1−7；综上所述，点Q的坐标为3,4或2−7,−1+7或2+7,−1−7；【变式12-2】如图，抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A−1，0，B4，0．(1)求抛物线的表达式；(2)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标；84 (3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)−x2+3x+4；(2)S△CBF有最大值为8，E2,2；(3)存在，P点的坐标为12，−4或52，4或−52，4．【分析】（1）将A−1，0，B4，0坐标分别代入抛物线解析式得方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；（2）先求出直线BC的解析式，设Fx，−x2+3x+4，则Ex，−x+4，得出EF=−x2+3x+4−−x+4，再求出S△CBF=12−x2+4x⋅4，再求其最大值即可；（3）先求出对称轴为直线x=−3−2=32，得D32，0，设P点的坐标为(m,n)，再根据平行四边形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】（1）解：由题意，将A−1，0，B4，0代入y=−x2+mx+n，得0=−−12−m+n0=−1×42+4m+n，解得m=3n=4，∴抛物线的表达式为y=−x2+3x+4；（2）解：令x=0，则y=4，∴C0,4，    设直线BC的解析式为y=kx+b，将B、C点坐标代入得4k+b=0b=4，解得k=−1b=4，∴直线BC的解析式为y=−x+4，设Fx，−x2+3x+4，EF⊥x轴于点H，则Ex，−x+4，∴EF=−x2+3x+4−−x+4=−x2+3x+4+x−484 =−x2+4x，．∴S△CBF=12EF⋅xB−xO=12−x2+4x⋅4=−2x2+8x=−2x−22+8∵S△CBF是关于x的二次函数，a=−2<0，∴当x=2时，S△CBF有最大值为8，此时E2,2；（3）解：由y=−x2+3x+4，可知对称轴为直线x=−3−2=32，∴D32，0，∵C0，4，A−1，0，设P点的坐标为(m,n)，①当AD为对角线时，32+−12=m2，0+02=4+n2，解得m=12，n=−4，∴P点的坐标为12，−4；②当CD为对角线时，    32+02=m+−12，4+02=0+n2，解得m=52，n=4，∴P点的坐标为52，4；    ③当AC为对角线时，−1+02=m+322，4+02=0+n2，84 解得m=−52，n=4，∴P点的坐标为−52，4；综上，P点的坐标为12，−4或52，4或−52，4【点睛】本题考查了二次函数的综合题，正确掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积和平行四边形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键．【变式12-3】如图，二次函数y=ax2+bx+ca<0的图象与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，已知OB=3OA，OC=OB．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标；若没有满足条件的P点，说明理由．【答案】(1)该二次函数的表达式为y=−x2+2x+3；(2)满足条件的P点坐标为83，119．【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．（1）利用待定系数法解答即可；（2）设P(m,−m2+2m+3)，由题意得：m>0，OD=m，PD=−m2+2m+3，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于m的方程即可得出结论．【详解】（1）解：∵A(−1,0)，∴OA=1，∵OB=3OA，OC=OB，∴OB=OC=3．∴B(3,0)，C(0,3)，84 ∵二次函数y=ax2+bx+ca<0的图象经过点A，B，C，∴a−b+c=09a+3b+c=0c=3，解得：a=−1b=2c=3，∴该二次函数的表达式为y=−x2+2x+3；（2）解：设P(m,−m2+2m+3)，∵PD⊥x轴，P为第一象限内抛物线上一点，∴m>0，OD=m，PD=−m2+2m+3，∴AD=OA+OD=m+1，∵△PDA与△COA相似，∴OAOC=ADPD或OAOC=PDAD，∴13=m+1−m2+2m+3或13=−m2+2m+3m+1．解得：m1=0，m2=−1或m3=−1，m4=83．∵m>0，∴m=83．∴△PDA与△COA相似，满足条件的P点坐标为83，119．【变式12-4】如图，点C为二次函数y=x2+2x+1的顶点，直线y=−x+m与该二次函数图象交于A(−3,4),B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．(1)求m的值及点C坐标；(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)连接AC、BC，求△ABC的面积；84 (4)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)m=1，C(−1,0)(2)−3<x<0(3)3(4)存在，Q的坐标为(−1,8)或(−1,25)或(−1,−25)或(−1,52)．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；（2）先求出点B的坐标，再由图象直接可求得一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；（2）先求出D(−1,2)，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．【详解】（1）∵直线y=−x+m过点A(−3,4)，∴4=3+m，∴m=1，∴y=−x+1，二次函数解析式为y=x2+2x+1=x+12，顶点坐标为C(−1,0)；（2）将x=0代入y=x2+2x+1得：y=1，∴B0,1，且A−3,4，由图象直接可得一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：−3<x<0；（3）由（1）知，直线AB的解析式为y=−x+1，C(−1,0)，二次函数对称轴为x=−1，∵直线y=−x+1与二次函数图象的对称轴交于点D，∴设点D(−1,y)，∴y=−1×(−1)+1=2，∴D(−1,2)，∴CD=2，∴△ABC的面积=S△ACD+S△BCD=12×2×2+12×2×1=3;（4）∵顶点坐标为C(−1,0)，∴对称轴为x=−1，∴设点Q(−1,y)，84 又∵C(−1,0)，点A(−3,4)，∴AC2=−1+32+0−42=20,AQ2=−1+32+(y−4)2,CQ2=y2，当AC=AQ时，则20=−1+32+(y−4)2，∴y1=8,y2=0（舍去），∴点Q坐标为(−1,8)，当AC=CQ时，则20=y2，∴y=±25,∴点Q坐标为(−1,25)或(−1,−25)；当AQ=CQ时，则−1+32+(y−4)2=y2，∴y=52，∴点Q坐标为(−1,52)；综上所述：点Q的坐标为(−1,8)或(−1,25)或(−1,−25)或(−1,52)．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【变式12-5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C1,0．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在第二象限的抛物线上，且△AOD与△ABC面积相等，求D点坐标；(3)若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB，求AP的长；(4)在（3）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N84 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−x2−2x+3(2)D−1,4(3)22(4)存在，−2,3、2,−5、−4,−5【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）易求△ABC的面积为6，AO=3，故D到x轴的距离为4，把y=4代入y=−x2−2x+3即可得x=−1，即可得到点D坐标；（3）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可；（4）分两种情况：①PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可；②当AP为平行四边形的对角线时，点M′的横坐标为−4，求出点M′的坐标即可．【详解】（1）解：令直线y=kx+3中x=0，则y=3，∴点B的坐标为0，3，抛物线y=−x2+bx+c经过点B0,3，C1,0，∴c=0−1+b+c=0，解得b=−2c=3，∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3；（2）解：令y=−x2−2x+3中y=0，则x1=1，x2=−3，∴点A的坐标为−3,0，∴S△ABC=12AC·OB=12×4×3=6，∵△AOD与△ABC面积相等，OA=3∴D到x轴的距离为4，将y=4代入y=−x2−2x+3，得x=−1，∴点D坐标−1,4；（3）解：令y=0，则−x2−2x+3=0，解得：x1=1，x2=−3，∴点A的坐标为−3,0，∴OA=3，OB=3，OC=1，∴AB=OA2+OB2=32+32=32，84 ∵∠APO=∠ACB，且∠PAO=∠CAB，∴△PAO∽△CAB，∴APAC=OAAB，即AP4=332，∴AP=22；（4）解：存在，过P作PD⊥x轴于D，∵OA=3，OB=3，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°，∴△PAD为等腰三角形，∵AP=22，∴PD=AD=2，∴点P的坐标为−1,2，当N在AB的上方时，过点N作NE⊥x轴于点，如图：∵四边形为APMN平行四边形，∴MN∥AP，MN=AP=22，∴∠NME=∠ABO=45°，∴△NME为等腰直角三角形，∴Rt△NME≌Rt△APD，∴NE=AD=2，当x=−2时，y=−−22−2×−2+3=3，∴点N的坐标−2,3，84 当N在AB的下方时，过点N作NF⊥y轴于点，如图：同理可得：Rt△NME≌Rt△APD，∴NF=AD=2，当x=2时，y=−22−2×2+3=−5，∴点N的坐标2,−5，当AP为平行四边形的对角线时，点N的横坐标为−4，∴N−4，−5，综上，点N的坐标为−2,3或2,−5或−4，−5．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【考点题型十三】二次函数与其他实际应用综合【典例13】【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y=−ax2+4ax+4a+184 图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；【探究二】研究心形叶片的宽度：（2）如图3，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G．求叶片此处的宽度CC1；【探究三】探究幼苗叶片的长度（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y=−ax2+4ax+4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖）与水平线的夹角为45°，求幼苗叶片的长度PD．【答案】（1）y=14x−22−1，D坐标为2,−1；（2）CC1=62；（3）PD=42【分析】（1）把原点0,0代入解析式y=−ax2+4ax+4a+1，求得a值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标；（2）先根据抛物线确定点C4,0，再确定A，B，E的坐标，根据等腰直角三角形的性质，对称的性质，计算求解即可；（3）设P的坐标为n,14n2−n，则n<0，过点D作x轴的平行线DF，过点P作PF⊥DF于点F，根据题意计算求解即可．【详解】（1）∵二次函数y=−ax2+4ax+4a+1的图象过原点∴4a+1=0，解得a=−14，∴抛物线的解析式为y=14x2−x=14x−22−1其顶点D坐标为2,−1．（2）由（1）可知，抛物线的解析式为y=14x2−x，令y=0，得14x2−x=0，解得x1=0，x2=4，∴C4,0．过点C作CE⊥x轴，交直线y=x+2于E，将x=4代入直线y=x+2，得y=6，∴E4,6，∴CE=684 ∵直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，当y=0时，x=−2，当x=0时，y=2，∴A−2,0，B0,2∴AC=4−−2=6=CE，∴△ACE是等腰直角三角形，且∠AEC=45°，又∵C，C1是关于对称轴直线AB的一对对称点，∴CC1⊥AB，CC1=2CG，∴△CGE是等腰直角三角形，∴2CG2=CE2=36，解得CG=32．∴CC1=2CG=62；（3）∵点P在抛物线y=14x2−x上，点D坐标为2,−1∴设P的坐标为n,14n2−n，则n<0，过点D作x轴的平行线DF，过点P作PF⊥DF于点F，依题意有∠PDF=45°，∴PF=FD，即14n2−n−−1=2−n，解得n=−2（n=2舍去）∴P−2,3，∴幼苗叶片的长度PD=2+22+3+12=42．84 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【变式13-1】综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案．【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，C1，C2皆为轴对称图形，且关于点M成中心对称，该段结构水平宽度为8米．  【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱M1N1，M2N2竖直立于地面并支撑在对称中心M1，M2处．小温将长为2.8米的竹竿AB竖直立于地面，当点A触碰到顶棚时，测得N2B为1米．【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板．【任务】(1)确定中心：求图2中点M到该结构最低点的水平距离l．(2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求C1的函数表达式．(3)确定高度：求挡风板的高度．【答案】(1)2米(2)见解析(3)2.675m或2.325m【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键．（1）根据对称性求解即可；（2）以M2点为原点，按如图形式建立直角坐标系，由条件可求对称轴为x=2，设顶点式为y=ax−22+ℎ，把0,0、1,0.3代入求解即可；（3）把x=32+2=72，x=32−2=−12分别代入（2）中解析式求解即可．【详解】（1）解：由中心对称性得：8÷2=4米，由轴对称性得：4÷2=2米．84 即图2中点M到该结构最低点的水平距离l为2米；（2）解：以M2点为原点，按如图形式建立直角坐标系，由条件得，C1过0,0、1,0.3，对称轴为x=2，设顶点式为y=ax−22+ℎ，将0,0、1,0.3代入得0=a0−22+ℎ0.3=a1−22+ℎ，解得：ℎ=0.4，a=−0.1，yC1=−0.1x−22+0.4；（3）解：27−8×3=3m，3÷2=32m  情况①：当x=32+2=72时，yC1=−0.1x−22+0.4=0.175m，ℎ=2.5+y=2.675m  情况②：将x=32−2=−12时，yC2=0.1x+22−0.4=−0.175m，ℎ=2.5+y=2.325m  综上，挡风板的高度为2.675m或2.325m．【变式13-2】图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是桥拱的横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．84       (1)在图2中建立合适的直角坐标系后，求这条抛物线的函数表达式．(2)拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面的船身为矩形GHIJ，船顶为等腰三角形EFK．测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，FG=JK=0.4米，GH=JI=1.26米．为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设安置航行警戒线，要求如下：①游船底部HI在P，Q之间通行；②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．求PQ的最大值．【答案】(1)y=−136x2+40≤x≤24(2)PQ的最大值为16.6米【分析】此题考查了二次函数的应用．（1）以点D为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，得到点B的坐标为12,0，顶点C的坐标为0,4，设抛物线解析式为y=ax2+4，把点B的坐标代入即可求解；（2）过点E作EM⊥FK于点M，得到EM=0.8米．由题意可知，当PQ最大时，点E的纵坐标为0.8+1.26+0.5=2.56，把y=2.56代入函数得2.56=−136x2+4，解方程的x1=7.2，由FG=JK=0.4米得到MG=MJ=1.1米，游船底部HI在P，Q之间通行，即可求得PQ的最大值．【详解】（1）以点D为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，  ∵AB=24米，CD=4米，∴点B的坐标为12,0，顶点C的坐标为0,4，设抛物线解析式为y=ax2+4，把B12,0代入得0=a×122+4，∴a=−136，84 ∴这条抛物线的函数表达式为y=−136x2+4−12≤x≤12；（2）过点E作EM⊥FK于点M，  ∵EF=EK=1.7米，FK=3米，∴FM=12FK=12×3=1.5（米）∴在Rt△EFM中，EM=EF2−FM2=1.72−1.52=0.8（米）．由题意可知，当PQ最大时，点E的纵坐标为0.8+1.26+0.5=2.56．把y=2.56代入函数y=−136x2+4中，得2.56=−136x2+4，解得x1=7.2，x2=−7.2，∵FG=JK=0.4米，∴MG=MJ=1.5−0.4=1.1（米），∵游船底部HI在P，Q之间通行，∴PQ的最大值为(7.2+1.1)×2=16.6（米）．84